背包问题--动态规划

背包问题

     0-1背包问题涉及最值的获取，普通的测试方法很难得到结果，需要采动态规划方法。公式如下:

   

其中，c[i,w]表示在包含了i物品的情况下背包承重为w下背包的最大价值。如果物品i重量大于w，直接跳过；如果物品i重量小于w，分为两种情况：

   （1）i物品装入，则要判断剩余i-1个物品在重量为w-wi前提下最大价值+i物品本身价值；

   （2）i物品不装入，判断剩余i-1物品在质量为w下最大价值，这是解题的关键；

题目描述：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

name	weight	value	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	2	6	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15
b	2	3	0	3	3	6	6	9	9	9	10	11
c	6	5	0	0	0	6	6	6	6	6	10	11
d	5	4	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
e	4	6	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6

表格生成过程是从下至上，从左到右的，d2含义：只有物品d时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为d物品的重量是5.

下面说说a8推理过程如下：表格来自：http://blog.csdn.net/mu399/article/details/7722810

   (1)由于物体a质量2<8,因此根据推导公式判断b8和 b6+6(value)二者取大值

  （2）由表可知，b8=9，b6=9, b6+6(value)=15,所以取值15；

其它取值过程类似。

代码实现如下：

   

#include<iostream>
using namespace std;
int c[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值
int max(int a,int b)
{
   if(a>=b)
       return a;
   else return b;
}

int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int C)//w 物品的重量 v物品的价值  x 物品的选取状态 C背包最大容量
{
    int i,j;
    for(i=0;i<=n;i++)
        c[i][0]=0;
    for(j=0;j<=C;j++)
        c[0][j]=0;
    for(i=0;i<=n-1;i++)
        for(j=0;j<=C;j++)
            if(j<w[i])//i物品重量超过j
               c[i][j]=c[i-1][j];
            else
                c[i][j]=max(c[i-1][j],c[i-1][j-w[i]]+v[i]);//不选用i物品和选用i物品之间选最大的
            j=C;
            for(i=n-1;i>=0;i--)
            {
              if(c[i][j]>c[i-1][j])//选用i物品
              {
                x[i]=1;
                j=j-w[i];
              }
            else
                x[i]=0;
            }
       cout<<"the select ting:"<<endl;
            for(i=0;i<n;i++)
              cout<<x[i]<<" ";
             cout<<endl;
        return c[n-1][C];

}

int main()
{
    int s;//获得的最大价值
    int w[15];//物品的重量
    int v[15];//物品的价值
    int x[15];//物品的选取状态
    int n,i;
    int C;//背包最大容量
    cout<<"enter the max weight:C=";
    cin>>C;
    cout<<"enter the number :n=";
    cin>>n;
   cout<<"enter the weight of n thing:";
    for(i=0;i<n;i++)
          cin>>w[i];
 cout<<"enter the value of n thing:";
    for(i=0;i<n;i++)
         cin>>v[i];
    s=KnapSack(n,w,v,x,C);
 cout<<"the max value:"<<s;
return 0;

}

  测试结果如下所示：

   

总结

   背包问题关键在于动态规划，动态规划关键在于公式的理解与掌握，加上实践。