题解 P6281 【[USACO20OPEN]Social Distancing S】

由于高传染性的牛传染病 COWVID-19 的爆发，Farmer John 非常担忧他的奶牛们的健康。

为了限制疾病的传播，Farmer John 的 $N$ 头奶牛（$2le Nle 10^5$) 决定践行“社交距离”，分散到农场的各处。农场的形状如一维数轴，上有 MM 个互不相交的区间（$1le Mle 10^5$），其中有可用来放牧的青草。奶牛们想要使她们位于不同的整数位置，每个位置上均有草，并且最大化 $D$ 的值，其中 $D$ 为最近的两头奶牛之间的距离。请帮助奶牛们求出 $D$ 的最大可能值。

这道题是一个二分的模板，先讲一下二分。

二分是确定一个答案然后对其分析，而答案常常有这样一种情况：

或

题目通常会让我们找符合条件的最大值或最小值。

以这道题为例，就是要在可行的社交距离中找到最大值。

我们发现，社交距离比最优解大的都可以，不最优解小的都不可以。

这个我们叫左闭右开。

二分顾名思义，就是二分。

int l=0,r=INT_MAX/2;
while(l+1<r){
    int mid=(l+r)>>1;
    if(check(mid))l=mid;//这里不同
    else r=mid;//这里不同
}

我们可以去写一下 check:

bool check(ll x){
	ll l=0,ans=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		l=max(l,a[i].a);//左端点
		if(a[i].b>=l){//a[i].r是右端点
			ll X=(a[i].b-l)/x+1;//站的牛的数量
			ans=ans+X;//奶牛数量+X
			l=l+X*x;//更新左端点
		}
	}
	return ans>=n;//是否可行
}

总代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long//注意开long long
using namespace std;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
const int MAXM=1e5+10;
struct node{
	int a,b;
}a[MAXM];
int n,m;
bool check(int x){
	int l=0,ans=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		l=max(l,a[i].a);
		if(a[i].b>=l){
			int X=(a[i].b-l)/x+1;
			ans=ans+X;
			l=l+X*x;
		}
	}
	return ans>=n;
}
bool cmp(node a,node b){
	return a.a<b.a;
}
signed main(){
	read(n);read(m);
	for(int i=1;i<=m;i++)read(a[i].a),read(a[i].b);
	sort(a+1,a+m+1,cmp);//排序
	int l=1,r=INT_MAX;
	while(l+1<r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid))l=mid;
		else r=mid;
	}cout<<l;
	return 0;
}