题解 P2642 【双子序列最大和】

给定一个长度为n的整数序列，要求从中选出两个连续子序列，使得这两个连续子序列的序列和之和最大，最终只需输出最大和。一个连续子序列的和为该子序列中所有数之和。每个连续子序列的最小长度为1，并且两个连续子序列之间至少间隔一个数。

前言

其实这道题的关键就是在于预处理，其方法类似于 合唱队形

正文

求最大子段和

要想求出双子序列最大和，首先我们要会求出最大子段和

最大子段和的求值方法很简单

定义 $f_i$ 为以第 $i$ 个数结尾的最大子段和

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[1000010],a[1000010];
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    f[1]=a[1];
	for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=max(f[i-1]+a[i],a[i]);
	int ans=f[1];
	for(int i=2;i<=n;i++)ans=max(ans,f[i]);
	cout<<ans;
	return 0;
}

求双子序列最大和

那么我们现在可以去求双子序列最大和

怎么求，思路是

如果你去枚举中间的数，然后去算左边的最大子段，再算出右边的最大子段，加起来，用打擂法，求出最大值，你会 $TLE$，毕竟$n<=10^{6}$

那怎么办？我们可以预处理

我们可以用 $O(n)$ 的时间计算到前 $1$ 个数的最大子段，

我们可以用 $O(n)$ 的时间计算到后 $i$ 个数的最大子段

像这样

cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>x[i];
f[1]=x[1];
for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=max(f[i-1]+x[i],x[i]);//算最大子段
for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=max(f[i-1],f[i]);//更新成最大值
l[n]=x[n];
for(int i=n-1;i>=1;i--)l[i]=max(l[i+1]+x[i],x[i]);//算最大子段
for(int i=n-1;i>=1;i--)l[i]=max(l[i+1],l[i]);//更新成最大值

这里 $f_i$ 表示前 $i$ 个数中的最大字段和

这里 $l_i$ 表示后 $i$ 个数中的最大字段和

然后，用 $O(n)$ 的时间去枚举中间的数，打擂法求出双子序列最大和

上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long x[1000010],f[1000010],l[1000010];
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>x[i];
    f[1]=x[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=max(f[i-1]+x[i],x[i]);//算最大子段
	for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=max(f[i-1],f[i]);//算最大子段
	l[n]=x[n];
    for(int i=n-1;i>=1;i--)l[i]=max(l[i+1]+x[i],x[i]);//算最大子段
	for(int i=n-1;i>=1;i--)l[i]=max(l[i+1],l[i]);//算最大子段
	long long ans=f[1]+l[3];
	for(int i=3;i<n;i++)ans=max(ans,f[i-1]+l[i+1]);//枚举中间数
	cout<<ans;
	return 0;
}

后记

这种预处理的方法可以优化我们的时间复杂度，避免重复计算，使我们的程序跑得更快！