算法笔记——拓展欧几里得定理

求 $ax_1+by_1=gcd(a,b)$

设 $bx_2+(amod b)y_2=gcd(b,a mod b)$

$herefore gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)$

$ecause ax_1+by_1=bx_2+(amod b)y_2$

又 $herefore a mod b=a-lfloorfrac{a}{b} floor imes b$

$ecause ax_1+by_1=bx_2+(a-lfloorfrac{a}{b} floor imes b)y_2$

我们利用乘法分配律，把这个式子展开

$bx_2+(a-lfloorfrac{a}{b} floor imes b)y_2=bx_2+ay_2-lfloorfrac{a}{b} floor imes by_2$

然后，我们把 $b$ 提出来

$bx_2+ay_2-lfloorfrac{a}{b} floor imes by_2=ay_2-b(x_2-lfloorfrac{a}{b} floor imes y_2)$

然后，我们发现 $x_1=y_2,y_1=x_2-lfloorfrac{a}{b} floor imes y_2$

这样，代码就好写了。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return d;
}