这题首先我们可以推出递推式：
我们先把加数个数大于等于 (2) 的限制去掉，最后再减回去即可。
[f_0=1
]
[f_n=sumlimits_{i=1}^{n} j cdot f_{i-j}
]
暴力代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<typename T>inline void read(T& FF){
FF=0;T RR=1;char CH=getchar();
for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
FF*=RR;
}
int f[100010];
int main(){int T;read(T);while(T--){
int n;read(n);
f[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
f[i]=0;
for(int j=1;j<=i;j++)
f[i]+=j*f[i-j];
}
cout<<f[n]-n<<endl;}
return 0;
}
然后我们看这个东西怎么矩乘。
我们来做差。
[egin{aligned}f_n-f_{n-1}&=sumlimits_{i=1}^{n} j cdot f_{i-j}-sumlimits_{i=1}^{n-1} j cdot f_{i-j-1}\&=f_{i-1}+2cdot f_{i-2}+cdots + icdot f_{0}-[f_{i-2}+2cdot f_{i-3}+cdots + (i-1)cdot f_{0}]\&=f_{i-1}+f_{i-2}+cdots+f_{0}end{aligned}
]
我们把这个东西叫做 (g_{i-1})
那么，现在矩阵乘法要做的事情就是利用 (f_{i-1}) 和 (g_{i-1}) 求出 (f_i)，我们发现 (f_i=f_{i-1}+g_{i-1})，故可得矩阵：
[egin{bmatrix}1&1\1&2\end{bmatrix}egin{bmatrix}f_{i-1}\g_{i-1}end{bmatrix}=egin{bmatrix}f_{i}\g_{i}end{bmatrix}
]
然后我们可以得到：
[egin{bmatrix}0\1end{bmatrix}egin{bmatrix}1&1\1&2end{bmatrix}^n
]
用矩乘算一下即可。
(code)：
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
template<typename T>inline void read(T &FF){
T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
FF*=RR;
}
const int N=5,MOD=1000000007;
struct Matrix{
int a[N][N],n,m;
Matrix(){
memset(a,0,sizeof(a));
}
void build(){
for(int i=1;i<=2;i++)a[i][i]=1;
}
}a,ans;
Matrix operator*(const Matrix x,const Matrix y){
Matrix ans;
ans.n=x.m;
ans.m=y.n;
for(int k=1;k<=x.m;k++)
for(int i=1;i<=x.n;i++)
for(int j=1;j<=y.m;j++)
ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+1ll*x.a[i][k]*y.a[k][j]%MOD)%MOD;
return ans;
}
Matrix pw(Matrix a,int k){
Matrix ans;ans.n=ans.m=2;ans.build();
for(;k;k>>=1,a=a*a)
if(k&1)ans=ans*a;
return ans;
}
signed main(){
int T;read(T);
while(T--){
int n;read(n);
Matrix a,b;
a.n=2;a.m=2;
a.a[1][1]=a.a[1][2]=a.a[2][1]=1;a.a[2][2]=2;
b.n=2;b.m=1;
b.a[1][1]=0;b.a[2][1]=1;
a=pw(a,n);
a=a*b;
cout<<(a.a[1][1]-n+MOD)%MOD<<endl;
}
return 0;
}