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  • 题解 P3651 【展翅翱翔之时 (はばたきのとき)】

    题目意思:

    (n) 个点,第 (i) 点有一条出边 (i o a_i)。更改点 (x) 的出边代价为 (c_x),要求用最小的代价将所有点连成一个环。

    我们先把原图建出来,考虑这张图一定是若干个树连环。

    每一个弱连通块一定是类似于这样:

    graph.png

    即:

    iShot2021-07-27 16.22.45

    我们的任务则是找到最长的一条链。

    对于一条链,每个节点的入度最多为 (1)​​,所以,对于树上的点,为了最大化答案,我们选择保留入边中边权最大的一条。

    对于环上的点,我们也可以这样做,因为至少去掉的那些边一定不可能被选进最优解中去。

    经过这样的处理,还剩下这样的东西:

    iShot2021-07-27 16.33.19

    这个环是处理的重中之重。

    对于环上的一个点,环上与它相邻的点的两条边以及子树的一条边至少会断一条边(没有子树,可以看成有一条边权为 (0) 的边)。

    我们还发现,我们必须断至少一条环上的边,必须至少保留一条来自子树连向环的边,否则就不为链了。

    最后还有一个小细节需要特判一下:

    如果这个图本身强联通,答案应为 (0)

    代码(目前的最优解):

    #include<bits/stdc++.h>
    #define log(a) cerr<<"33[32m[DEBUG] "<<#a<<'='<<(a)<<" @ line "<<__LINE__<<"33[0m"<<endl
    #define LL long long
    #define SZ(x) ((int)x.size()-1)
    #define ms(a,b) memset(a,b,sizeof a)
    #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
    #define DF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
    using namespace std;
    inline int read(){char ch=getchar(); int w=1,c=0;
        for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') w=-1;
        for(;isdigit(ch);ch=getchar()) c=(c<<1)+(c<<3)+(ch^48);
        return w*c;
    }
    const int N=1e5+10;
    int a[N],b[N],h[N],f[N],l[N];
    LL ans;
    bool vis[N];
    queue<int>q;
    int main(){
        int n=read();
        F(i,1,n){
            a[i]=read(),b[i]=read();
            h[a[i]]++;
        }
        F(i,1,n)
            if(!h[i])q.push(i);
        if(q.empty()){
            int s=0;
            for(int i=1;!vis[i];i=a[i])s++,vis[i]=true;
            if(s==n){
                puts("0");
                return 0;
            }
        }
        while(q.size()){
            int x=q.front();q.pop();
            if(f[a[x]]){
                ans+=min(f[a[x]],b[x]);
                f[a[x]]=max(f[a[x]],b[x]);
            }else f[a[x]]=b[x];
            if(--h[a[x]]==0)q.push(a[x]);
        }
        F(i,1,n)
            if(h[i]){
                int tot=0;
                for(int j=i;h[a[j]];j=a[j]){
                    h[a[j]]=0;
                    ans+=f[a[j]];
                    l[++tot]=f[a[j]]-b[j];
                }
                sort(l+1,l+tot+1);
                ans-=l[tot];
                DF(i,tot-1,1)
                    if(l[i]>0)ans-=l[i];
            }
        cout<<ans;
        return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zhaohaikun/p/15370651.html
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