混沌迭代现象的观察与多图绘制对比

混沌系统源于迭代，某些迭代函数会导致混沌现象的产生，迭代是一个确定的系统，但是也会产生仿佛随机系统一样的现象。例如人口模型常用的Logistic方程。

$$x_{t+1} = alpha imes x_t (1-x_t) $$

$$在迭代参数 alpha 取不同值的时候会产生不同得迭代结果，可能收敛于确定值，也可能产生混沌线性。$$

以Python程序来进行测试

$$其中 alpha in (0, 4) , x in (0, 1)$$

# -*- coding: utf-8 -*-
# @Author : ZhaoKe
# @Time : 2021-04-19 9:37
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


# sigma in (0, 4)
# x0 in (0, 1) 无影响
def logistic_function(x, sigma):
    return sigma * x * (1 - x)
def getChaosSeries(v0, sigma, lb, ub, length):
    res = np.zeros(length)
    res[0] = (v0 - lb) / (ub - lb)
    for i in range(1, length):
        res[i] = logistic_function(res[i - 1], sigma)
    res = lb + (ub - lb) * res
    return res


def showPlot():
    length = 100
    for i in range(0, 100):
        x0 = 0.1+0.2*(i // 20)
        sigma = 0.1+0.2*i
        while sigma > 4:
            sigma -= 4
        print("------------iter-%d:x0=%.2f--sigma=%.2f" % (i, x0, sigma))
        lb = 0
        ub = 1
        res = getChaosSeries(x0, sigma, lb, ub, length)
        plt.figure(i)
        plt.plot(range(length), res, color="blue")
        plt.scatter(range(length), res, color="red")
        print("chaosImgs2/x0=%.2f--sigma=%.2f.png" % (x0, sigma))
        plt.savefig("chaosImgs2/x0=%.2f--sigma=%.2f.png" % (x0, sigma), dpi=300, format='png')
        plt.close(i)


if __name__ == '__main__':
    showPlot()

程序画出不同迭代参数和不同初始值的25张图，并保存本地，结果如下（注释部分是画5行5列的

$$结果可见， sigma 越大越趋于混沌 $$

而x0即迭代的初始值，对于迭代过程影响不大，或者说没什么影响，