时分秒针重合问题

网络搜索引擎的答案：

问题

在一天的24小时之中，时钟的时针、分针和秒针完全重合在一起的时候有几次？都分别是什么时间？你怎样算出来的？

分析

初看此问题觉得很简单，但是网上各种版本的答案都各不相同，那到底谁是对的呢？

我们可以这样考虑——龟兔赛跑，跑得慢的针终归会被快的一圈一圈超过。那么，分别求出时针分针、分针秒针的重合时间，然后再看是否有相同。

这里都不难，关键是有一个陷阱！请问大家，我说“一圈一圈超过”，是不是每圈都被超过？

先求角速度：（度/秒）

1. 时针：w1 = 360 / 12*3600 = 1/120 d/s

2. 分针：w2= 360 / 3600 = 0.1 d/s

3. 秒针：w3 = 360 / 60 = 6 d/s

设3个针当中，快针角速度为wf，慢针角速度为ws。若快针在一天24小时中，转k = 0, 1, 2, 3, … , n圈的时候，重合慢针的时间为t，则：

wf * t - k*360 = ws*t – [ws/wf * k] *360

t = 360*( k - [k*ws/wf] ) / (wf - ws)

代码如下：

        List<double> Times_Overlap(double wf, double ws) 
        { 
            var n = (int)(24 * 3600 * wf / 360); 
            var times = new List<double>(n); 
            for (int k = 0; k < n - 1; k++) 
            { 
                var t = 360 * (k - (int)(k * ws / wf)) / (wf - ws); 
                //t = Math.Round(t); 
                if (times.Count == 0 || times[times.Count - 1] != t) times.Add(t); 
            } 
            return times; 
        }

运行程序可以得到（显示出來的时间按秒取整了）：

时针分针重合的时间 Times_Overlap(w2, w1)：

(1) 00:00:00, (2) 01:05:27, (3) 02:10:54, (4) 03:16:21, (5) 04:21:49, (6) 05:27:16, (7) 06:32:43, (8) 07:38:10, (9) 08:43:38, (10) 09:49:05, (11) 10:54:32, (12) 12:00:00, (13) 13:05:27, (14) 14:10:54, (15) 15:16:21, (16) 16:21:49, (17) 17:27:16, (18) 18:32:43, (19) 19:38:10, (20) 20:43:38, (21) 21:49:05, (22) 22:54:32,

分针秒针重合的时间 Times_Overlap(w3, w2)：

(1) 00:00:00, (2) 00:01:01, (3) 00:02:02, (4) 00:03:03, (5) 00:04:04, (6) 00:05:05, (7) 00:06:06, (8) 00:07:07, (9) 00:08:08, (10) 00:09:09, (11) 00:10:10, (12) 00:11:11, (13) 00:12:12, …… 23:53:53, (1412) 23:54:54, (1413) 23:55:55, (1414) 23:56:56, (1415) 23:57:57, (1416) 23:58:58,

时分秒针重合的时间：

00:00:00 12:00:00

讨论

通过Times_Overlap(w2, w1) 算出所有时针和分针重合时间；通过Times_Overlap(w3, w2)算出所有分针和秒针重合时间，可以得到总共重合2次：0点和12点。

需要注意的是，快针和慢针每在0点重合，下一圈快针和慢针将不会相遇。因此，时针和分针相遇22次，时针和秒针相遇1438次，分针和秒针相遇1416次

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对整个问题的分析是很不错的，只是红字部分：wf * t - k*360 = ws*t – [ws/wf * k] *360有错误

应该为wf * t - k*360 = ws*t（也就是等式左边快针在t时间走过的角度减去慢针走过的角度是360的整数倍） 。

对此可以简单的举个例子假设即可得出错误：对于(2) 01:05:27这个时间来说，k=1，原来的式子的出来的结果是3600秒

而不是事实的3927秒；

测试代码（devC++）如下：

#include<iostream> 
#include<list>     
using namespace std;        
typedef  list<double> LIST;               
int Times_Overlap(double wf, double ws) 
{ 
  int n = (int)(24 * 3600 * wf / 360); 
  LIST times(n);
  for (int k = 0; k < n - 1; k++) 
  { 
    //double t = 360 * (k - (k * ws / wf)) / (wf - ws);
    double t = 360*k / (wf - ws); 
    if (times.size() == 0 || t<3600*24) 
    times.push_back(t); 
  }
   LIST::iterator it = times.begin();
   for(;it!=times.end();it++)
   {
    cout<<*it<<"\t";
   }
}
int main()
{
 double wf =0.1;
 double ws=(double)1/(double)120;
 Times_Overlap(wf,ws);
 system("pause");
}