[读书笔记]-大话数据结构-2-算法

算法（Algroithm）：是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

算法的特性

• 输入输出：零个或多个输入（打印hello world不需要输入），一个或多个输出
• 有穷性：算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无线循环，并且每一个步奏在可接受的时间内完成。
• 确定性：算法的每一步都有确定的含义，不会出现二义性。
• 可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能通过执行有限次数完成。

算法设计的要求

1. 正确性

    正确性:算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。正确性分为以下四个层次：

• 算法程序没有语法错误。
• 算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果。
• 算法程序对 非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果。（一般以此作为算法正确的标准）
• 算法程序对于精心选择的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果。

2. 可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。

3. 健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。

4. 时间效率高和存储量低

    好的算法，应该具有正确性 读性、健壮性 高效率和低存储的特点。

算法效率的度量方法

1. 事后统计方法

    事后统计方法：通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。

    事后统计存在的缺点：编写程序花费时间和精力、运行算法依赖软硬件和计算机环境、设计测试数据困难。一般不用此种方法度量。

2. 事前分析估算方法

    事前分析估算方法：在编写程序前，根据统计方法对算法进行估算。一般程序在计算机上运行的时间取决于：

• 算法采用的策略、方法
• 编译产生的代码质量（软件支持）
• 问题的输入规模
• 机器执行指令的速度（硬件性能）

    也就是说，抛开软硬件因素，一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模（输入的量是多少）。

函数的渐近增长

    函数的渐近增长:给定两个函数 f（n）和g（n） 如果存在一个整数N，使得对于所有的 n > N, f ( n )总是比 g( n )大，那么 我们说 f( n )的增长渐近快于 g( n).

    判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关主项(最高阶项)的阶。

    如果我们可以对比几个算法的关键执行次数函数的渐近增长性，基本就可以分析出:某个算法，随着 n的增大，它会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一算法。

算法时间复杂度

    在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间度量，记作T(n)=O(f(n))。它表示岁问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

    随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法

推导大O阶：

1. 用常数1取代运算时间中的所有加法常数
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

常见的时间复杂度

• 常数阶 O(1) :与问题规模O无关
• 线性阶 O(n)
• 对数阶 O(logn)
• 平方阶 O(n^2)
• nlogn阶 O(nlogn)
• 立方阶 O(n^3)
• 指数阶 O(2^n)

    常用时间复杂度耗费时间从小到大依次是：

    O(1) < O(logn) < O(n) <O(nlogn) < O(n^2)  < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

最坏情况与平均情况 

    最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。在应用中，这是一种最要的需求，通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

    平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。

算法空间复杂度

    算法的空间复杂度是通过计算算法所需的存储空间实现的，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为关键语句关于n所占存储空间的函数。