已知: $ riangle{ABC}$ 中, $D$ 是 $BC$ 的中点, $E, F$ 是 $AB, AC$ 边上的两点, 过 $C, B$ 分别作 $CGparallel DF, BGparallel DE$ 交于 $G$, $I$ 为 $AH$ 中点.
求证: $IDparallel AG$.
分析:
考虑到平行及中点, 可尝试通过找到更多中点构造中位线, 进而运用平行线比例性质证明.
证明:
过 $H$ 作平行于 $BC$ 之直线分别交 $AB, DE, DF, AC$ 于 $J, K, L, M$.
$ecause D$ 是 $BC$ 中点, $ herefore K, L$ 分别是 $JH, HM$ 中点.
连结 $IK, IL$, 则 $IK, IL$ 分别为 $ riangle{ALH}$ 和 $ riangle{AHM}$ 之中位线.
$ riangle{IKL}$ 与 $ riangle{ABC}$ 三组对应边分别平行, 即二者是位似图形, 位似中心为三个对应顶点之交点$N$.
下面须证明 ${ND over DG} = {NI over IA}$, 其关键在于证明 $N, D, G$ 三点共线.
连结 $NG$ 交 $ED$(或其延长线)于 $D^{prime}$.
易证 ${ND^{prime}over D^{prime}G} = {NKover KB} = {NLover LC}$, 即 $D^{prime}$ 在 $FD$(或其延长线)上, 亦即 $D^{prime}$ 是 $ED, FD$ 之交点, 由此可知 $D = D^{prime}$.
$ecause N, D, G$ 三点共线, $ herefore {ND over DG} = { NL over LC} = {NI over IA}$, 故 $IDparallel AG$.
Q$cdot$ E$cdot$ D
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