一个正整数的1000倍恰有1000个约数, 那么这个正整数自身最少有多少个约数?
解答：
设该正整数为 $n$, 由 $1000 = 2^3 imes5^3$, 可设 $n = 2^a imes 5^b imes m$，
其中 $a, binmathbf{N}$, $minmathbf{N^*}$, 且 $m$ 不含素因子 $2$ 和 $5$.
再设 $m$ 有 $t$ 个约数, $n$ 有 $S(n)$ 个约数,
则 $1000n = 2^{a+3} imes 5^{b+3} imes m$
$Rightarrow (a+4)cdot(b+4)cdot t = 1000$
$Rightarrow S(n) = (a+1)cdot(b+1)cdot t = 1000cdot displaystyle{a+1over a+4}cdot {b+1over b+4}$
注意到函数 $f(x) = displaystyle{x+1over x+4} = 1 - {3over x+4}$ 随 $x$ 增大而增大.
故欲使 $S(n)$ 最小, 须使 $a, b$ 尽量小. 下面试解:
$a=0, b = 0Rightarrow S(n) = 1000 imesdisplaystyle{1over16} otinmathbf{Z}$;
$a = 0, b = 1Rightarrow S(n) = 1000 imes displaystyle{1over4} imes {2over5} = 100$ 符合题意.
综上, 该正整数最少有 $100$ 个约数.
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