1、已知 $f(x) = x^5 + ax^3 + bx + csqrt[3]{x} + 8$ (其中 $a, b, cinmathbf{R}$), 且 $f(-2) = 10$. 求 $f(2)$ 的值.
解答:
令 $g(x) = f(x) - 8$, 易证 $g(x)$ 是奇函数.
因此有 $$g(-2) = f(-2) - 8 = 2Rightarrow g(2) = -g(-2) = -2 Rightarrow f(2) = g(2) + 8 = 6.$$
2、函数 $f(x)$ 具有如下性质: 对每个实数 $x$, 都有$$f(x) + f(x - 1) = x^2.$$ 如果 $f(19) = 94$, 那么 $f(94)$ 除以1000的余数是多少?
解答:
由题意可知 $$f(20) = 20^2 - f(19),$$ $$f(21) = 21^2 - f(20) = 21^2 - 20^2 + f(19),$$ $$f(22) = 22^2 - f(21) = 22^2 - 21^2 + 20^2 - f(19),$$ 以此类推可得 $$f(94) = 94^2 - 93^2 + 92^2 - 91^2 + cdots + 20^2 - f(19) = 94 + 93 + cdots + 21 + 400 - 94 = 4561.$$ 即 $f(94)$ 除以 $1000$ 余数为 $561$.
3、已知奇函数 $f(x)$ 在定义域 $(-1, 1)$ 内单调递减. 当 $m$ 取何值时, $f(1 - m ) + fleft(1 - m^2 ight) < 0$ 成立?
解答:
首先求出 $m$ 取值范围: $$egin{cases}-1 < 1-m < 1\ -1 < 1-m^2 < 1 end{cases}Rightarrow 0 < m < sqrt2.$$ 因此有 $$f(1-m^2) < - f(1 - m) = f(m-1) Rightarrow 1 - m^2 > m - 1 Rightarrow -2 < m < 1.$$ 综上, $min(0, 1)$ 即为所求.
4、当 $xin[-1, 1]$ 时, 求函数$$f(x) = {x^4 + 4x^3 + 17x^2 + 26x + 106 over x^2 + 2x + 7}$$的值域.
解答: $$f(x) = x^2 + 2x + 7 + {64 over x^2 + 2x + 7} - 1.$$ 令 $t=x^2 + 2x + 7 = (x + 1)^2 + 6 Rightarrow tin[6, 10]$.
而 $g(t) = t + displaystyle{64 over t} - 1$ 在 $[6, 8]$ 递减, 在 $[8, 10]$ 递增, 且 $$g(6) = {47over3}, g(8) = 15, g(10) = {77 over 5}.$$
因此 $f(x)$ 值域为 $$left[15, {47over3} ight].$$
5、设 $x, y, z, a, b, c, r > 0$. 证明: $${x + y + a + b over x+ y + a + b + c + r} + {y + z + b + c over y + z + a + b + c} > {x + z + a + c over x + z + a + b + c + r}.$$ 证明：$${x + y + a + b over x+ y + a + b + c + r} + {y + z + b + c over y + z + a + b + c + r}$$ $$> {x + y + a + b over x + y + z + a + b + c + r} + {y + z + b + c over x + y + z + a + b + c + r}$$ $$= {x + 2y + z + a + 2b + c over x + y + z + a + b + c + r} > {x + y + z + a + c over x + y + z + a + b + c + r} > {x + z + a + c over x + z + a + b + c + r}$$ 最后一个不等式成立的依据是, 对于函数 $$f(x) = {x over x+t} = 1 - {t over x+t}, (t>0)$$在 $(-t, +infty)$ 上单调递增.
Q.E.D.
6、设函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0, +infty)$, 且单调递增, 满足 $f(2) = 1$, $f(xy) = f(x) + f(y)$.
a. 证明: $f(1) = 0$.
b. 求 $f(4)$.
c. 若 $f(x) + f(x - 3) le 2$, 求 $x$ 的范围.
解答:
a. 令 $x = y = 1$, 易得 $f(1) = f(1) + f(1) Rightarrow f(1) = 0$.
b. 令 $x = y = 2$, 易得 $f(4) = f(2) + f(2) = 2$.
c. $$f(x) + f(x - 3) le 2 = f(4) Rightarrow egin{cases}x > 0\ x - 3 > 0\ x^2 - 3x le 2end{cases}Rightarrow 3 < x le 4.$$
7、已知 $a$ 为非零常数.
a. 若 $f(x + a) = displaystyle{1 - f(x) over 1 + f(x)}$, 则 $f(x)$ 为周期函数.
b. 若$f(x + a) = displaystyle{1 + f(x) over 1 - f(x)}$, 则$f(x)$为周期函数.
解答:
a. $$f(x + 2a) = {1 - f(x+a) over 1 + f(x+a)} = {2f(x) over 2} = f(x).$$
b. $$f(x + 2a) = {1 + f(x+a) over 1- f(x+a)} = {1over f(x)}Rightarrow f(x + 4a) = {1over f(x + 2a)} = f(x).$$
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