1. 已知二次函数 $y = 3ax^2 + 2bx - (a + b)$, 当 $x = 0$ 和 $x = 1$ 时, $y$ 的值均为正数, 则当 $0 < x < 1$ 时, 抛物线与 $x$ 轴的交点个数是多少?
解答:
令 $f(x) = 3ax^2 + 2bx - (a + b)$, $$Rightarrow egin{cases}f(0) = -(a + b) > 0\ f(1) = 3a + 2b - (a + b) > 0 end{cases} Rightarrow egin{cases}a + b < 0\ 2a + b > 0 end{cases} Rightarrow a > 0, b < 0.$$ $$fleft(frac{1}{2} ight) = frac{3}{4}a + b - (a + b) = -frac{1}{4}a < 0.$$ 因此 $f(x)$ 在 $left(0, dfrac{1}{2} ight)$ 及 $left(dfrac{1}{2}, 1 ight)$ 内各有一个实根, 即与 $x$ 轴有 $2$ 个交点.
2. $mx^2 - (m-1)x + m^2 - m - 2 = 0$ 的两根分别在 $0 < x < 1$ 和 $1 < x < 2$ 的范围内, 求 $m$ 之取值范围.
解答:
令 $f(x) = mx^2 - (m-1)x + m^2 - m - 2$, $$Rightarrow egin{cases}mcdot f(0) > 0\ mcdot f(1) < 0\ mcdot f(2) > 0end{cases} Rightarrow egin{cases}m(m-2)(m+1) > 0\ m(m^2 - m - 1) < 0\ m^2(m + 1) > 0 end{cases}$$ $$Rightarrow egin{cases}-1 < m < 0, m > 2\ m < dfrac{1 - sqrt5}{2}, 0 < m < dfrac{1+ sqrt5}{2}\ m > -1 end{cases}$$ $$Rightarrow -1 < m < frac{1 - sqrt5}{2}.$$
3. $f(x) = 4x^2 - 4ax + (a^2 - 2a + 2)$ 在 $0 le x le 2$ 上最小值为 $2$, 求 $a$ 的值.
解答:
对称轴方程为 $x = dfrac{a}{2}$, $$frac{a}{2} le 0 Rightarrow egin{cases}a le 0\ f(0) = a^2 - 2a + 2 = 2end{cases} Rightarrow a = 0$$ $$frac{a}{2} ge 2 Rightarrowegin{cases}a ge 4\ f(2) = a^2 - 10a + 18 = 2end{cases} Rightarrow a = 8$$ $$0 < frac{a}{2} < 2 Rightarrow egin{cases}0 < a < 4\ fleft(dfrac{a}{2} ight) = dfrac{-32a + 32}{16} = 2end{cases} Rightarrow ainphi$$ 综上, $a_1 = 0$, $a_2 = 8$.
4. 设二次函数 $f(x)$ 满足 $f(x + 2) = f(-x + 2)$, 且其图像与 $y$ 轴交于点 $(0, 1)$, 在 $x$ 轴上截得的线段长为 $2sqrt2$, 求 $f(x)$ 之解析式.
解答:
对称轴为 $x = dfrac{1}{2}(x+2 + 2 - x) = 2$, 因此 $f(x)$ 与 $x$ 轴交点坐标为 $(2-sqrt2, 0)$, $(2 + sqrt2, 0)$, $$f(x) = a(x-2+sqrt2)(x - 2 - sqrt2) Rightarrow f(0) = 2a = 1 Rightarrow a = frac{1}{2}.$$ 因此 $f(x) = dfrac{1}{2}x^2 - 2x + 1$.
5. 设整系数二次方程 $x^2 + mx + n = 0$ 的两个根 $alpha$ 与 $eta$ 满足不等式 $alpha > 1$, $-1 < eta < 1$. 试证: $alpha^3 + eta^3 ge 4$.
解答: $$egin{cases}f(-1) = 1 - m + n > 0\ f(1) = 1 + m + n < 0 end{cases} Rightarrow egin{cases} m - n < 1\ m + n < -1 end{cases}$$ $$Rightarrow egin{cases}m < 0\ m-1 < n < - m -1Rightarrow m le n le -m-2end{cases}$$ $$Rightarrow alpha^3 + eta^3 = (alpha + eta)left[(alpha + eta)^2 - 3alphaeta ight] = -mleft(m^2 - 3n ight)$$ $$= -m^3 + 3mn ge -m^3 + 3m(-m - 2) = -mleft(m^2 + 3m + 6 ight)$$ $$= -mleft[left(m + frac{3}{2} ight)^2 + frac{15}{4} ight] = g(m).$$ 当 $m le -2$ 时, $$-mleft[left(m + frac{3}{2} ight)^2 + frac{15}{4} ight] ge g(-2) = 8.$$ 当 $m = -1$ 时, $$-mleft[left(m + frac{3}{2} ight)^2 + frac{15}{4} ight] = 4.$$ 综上, $alpha^3 + eta^3 ge 4$.
6. $a, b, cinmathbf{R}$, 且满足 $(a+c)(a+b+c) < 0$, 求证: $(b - c)^2 > 4a(a+b+c)$.
解答:
由证明式考虑构造二次函数并使用判别式定理. $$f(x) = ax^2 + (b-c)x + (a+b+c)$$ 需证明 $f(x)$ 与 $x$ 轴有两个不同交点.
由已知考虑构造 $f(alpha) = a+c$ 及 $f(eta) = a+b+c$, $$Rightarrow egin{cases}f(-1) = a + c-b + a+b+c = 2(a+c)\ f(0) = a+b+c end{cases}$$ $$Rightarrow f(0)cdot f(-1) < 0$$ 暨 $f(x)$ 必与 $x$ 轴有两个不同交点, 命题得证.