扫描以下二维码下载并安装猿辅导App, 打开后请搜索教师姓名"赵胤"即可报名本课程.
1. $100$ 个同学, 每天早上三个人值周. 证明: 不能排出这样一个值周表, 使得任何两人在一起值周的次数为 $1$.
解答:
选出学生$A$, 如果按题目要求之值周表可行, 则其余 $99 $ 人可以两两配对, 每组均与 $A$ 一起值周一次. 而 $99$ 是个奇数, 无法完成要求配对.
2. 证明: 当 $x$, $y$, $z$ 是奇数时, 不存在整数 $a$, $b$, $c$ 使下列等式同时成立: $$egin{cases}abc - a = x,\ abc - b = y,\ abc - c = z. end{cases}$$ 解答: $$egin{cases}abc - a = x,\ abc - b = y,\ abc - c = z. end{cases}Rightarrow egin{cases}a(bc - 1) = x,\ b(ac - 1) = y,\ c(ab - 1) = z. end{cases}$$ 因此 $a$, $b$, $c$, $bc - 1$, $ac - 1$, $ab - 1$ 均为奇数, 这显然矛盾.
3. 证明: 若正整数 $n$ 可以写成两个整数的平方和, 则 $2n$ 也可以写成两个整数的平方和, 反之亦然.
解答:
若 $n = x^2 + y^2$ ($x, yinmathbf{Z}$), 则 $$2n = 2x^2 + 2y^2 = (x+y)^2 + (x - y)^2.$$ 反之, 若 $2n = a^2 + b^2$ ($a, binmathbf{Z}$), 易知 $a$, $b$ 具有相同的奇偶性, 则 $$n = frac{a^2 + b^2}{2} = left(frac{a + b}{2} ight)^2 + left(frac{a - b}{2} ight)^2.$$
4. 设$n$是正整数且不能被4整除, 证明: $$5 ig{|} left(1^n + 2^n + 3^n + 4^n ight).$$ 解答:
若 $n$ 为奇数, 则 $$1^n + 2^n + 3^n + 4^n = left(1^n + 4^n ight) + left(2^n + 3^n ight) = 5M, Minmathbf{N^*}.$$ 若 $n$ 为偶数, 不妨设 $n = 2m$ ($m$ 是奇数), 则 $$left(1^n + 2^n + 3^n + 4^n ight) = 1^m + 4^m + 9^m + 16^m = 5N_1 + 25N_2, N_1,N_2inmathbf{N^*}.$$
5. 试找出所有不能表示为任何正整数的平方差的正整数.
解答:
设 $n = x^2 - y^2$, $x, yinmathbf{N^*}$.
易知 $n = (x + y)(x - y)$, 且 $x+y$, $x - y$ 有相同的奇偶性, 即 $n$ 可以写成 $4k$ 或 $4kpm1$ 的形式.
若 $n = 4k$ ($k in mathbf{N^*}$), 令 $x = k + 1$, $y = k-1$ ($k > 1$), 则 $$(x+y)(x-y) = 4k.$$ 若 $n = 4kpm1$ ($k in mathbf{N^*}$), 即 $n$ 是奇数, 令 $x = t+1$, $y = t$ ($t > 0$), 则 $$(x+y)(x - y) = 2t + 1.$$ 综上, 当且仅当 $n = 1$, $n = 4$, 及形如 $n = 4k+2$ 的正整数不能表示为两个正整数的平方差.