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1. 求 $2016$ 的约数个数及其约数和.
解答: $$2016 = 2^5 imes 3^2 imes 7$$ $$Rightarrow au(2016) = (5+1)cdot(2+1)cdot(1+1) = 36,$$ $$sigma(2016) = frac{2^6 - 1}{2 - 1} cdot frac{3^3 - 1}{3 - 1}cdot frac{7^2 - 1}{7 - 1} = 6552.$$
2. 是否存在连续 $2017$ 个正整数都是合数? 请证明之.
解答: $$2018! + 2, 2018! + 3, cdots, 2018! + 2018$$ 即为所求. 易证每个数均为合数.
3. $n$ 是不小于 $40$ 的偶数, 证明: $n$ 总可以表示成两个奇合数之和.
解答:
可通过试验得出如下结论:
个位数字为 $0$ 时, $n = 15 + 5k$, $k ge 5$ 且为奇数;
个位数字为 $2$ 时, $n = 27 + 5k$, $kge 3$ 且为奇数;
个位数字为 $4$ 时, $n = 9 + 5k$, $k ge 7$ 且为奇数;
个位数字为 $6$ 时, $n = 21 + 5k$, $kge5$ 且为奇数;
个位数字为 $8$ 时, $n = 33 + 5k$, $kge3$且为奇数.
易证每组两个数均为合数.
4. 证明有无穷多个正整数 $n$, 使多项式 $n^2 + 3n + 7$ 是 $11$ 的倍数.
解答:
逆向考虑: 被 $11$ 整除时 $n(n+3)$ 模 $11$ 余 $4$, 因此令 $n = 11k+1$ ($k ge 1$), 则 $$n^2 + 3n + 7 equiv 1 + 3 + 7 equiv 11 equiv 0 pmod{11}.$$ 且 $n^2 + 3n + 7 > 11$. 因此存在无穷多个正整数 $n$ 使得该多项式是合数.
5. 设$ninmathbf{N^*}$, 若2005可以写成$n$个正的奇合数之和, 则称$n$为lqlq 好数
q
q, 则这种好数共有多少个?
解答:
注意到最小的奇合数是 $9$ 以及 $2005$ 本身也是奇合数. 易知奇数个奇数的和为奇数, 因此 $n$ 是奇数. $$left[frac{2005}{9} ight] = 222 Rightarrow n le 221.$$ 而且有 $$2005 = 9 imes 220 + 25.$$ 即 $n$ 之最大值为 $221$.
另一方面, $$(2k-1) cdot 9 = (2k+1)cdot9 - 9 imes 2$$ 即可以不断合并 $9$ 的个数从而减少奇合数个数 (每次减少 $2$ 个).
因此 $n = 221, 219, cdots, 3$, 最后加上 $2005$ 本身可以构成奇合数, 即 $n = 1, 3, cdots, 221$ 总计 $111$ 个.