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  • 初等数学问题解答-4:无理方程求解

    本题适合初二以上数学爱好者解答。

    问题:

    $x$ 取什么实数值时,下列方程能够成立?

    a. $sqrt{x + sqrt{2x - 1}} + sqrt{x - sqrt{2x - 1}} = sqrt{2}$;

    b. $sqrt{x + sqrt{2x - 1}} + sqrt{x - sqrt{2x - 1}} = 1$;

    c. $sqrt{x + sqrt{2x - 1}} + sqrt{x - sqrt{2x - 1}} = 2$.

    解答:

    这是第1届国际数学奥林匹克(IMO)的第2题,由罗马尼亚供题。

    本题难度并不大,主要考查了复合二次根式与绝对值的几何意义,普通中学生就可以轻松解决之。

    a. $$sqrt{x + sqrt{2x - 1}} + sqrt{x - sqrt{2x - 1}} = sqrt{2}$$ $$Rightarrow sqrt{2x + 2sqrt{2x - 1}} + sqrt{2x - 2sqrt{2x - 1}} = 2$$ $$Rightarrow sqrt{2x - 1 + 2sqrt{2x - 1} + 1} + sqrt{2x - 1 - 2sqrt{2x - 1} + 1} = 2$$ $$Rightarrow |sqrt{2x - 1} + 1| + |sqrt{2x - 1} - 1| = 2$$ $$Rightarrow -1 le sqrt{2x - 1} le 1$$ $$0 le 2x - 1 le 1$$ $$Rightarrow frac{1}{2} le x le 1.$$

    b. $$sqrt{x + sqrt{2x - 1}} + sqrt{x - sqrt{2x - 1}} = 1$$ $$Rightarrow sqrt{2x + 2sqrt{2x - 1}} + sqrt{2x - 2sqrt{2x - 1}} = sqrt{2}$$ $$Rightarrow sqrt{2x - 1 + 2sqrt{2x - 1} + 1} + sqrt{2x - 1 - 2sqrt{2x - 1} + 1} = sqrt{2}$$ $$Rightarrow |sqrt{2x - 1} + 1| + |sqrt{2x - 1} - 1| = sqrt{2}.$$ 而 $$|sqrt{2x - 1} + 1| + |sqrt{2x - 1} - 1| ge 2,$$ 因此该方程无实数解。

    c. $$sqrt{x + sqrt{2x - 1}} + sqrt{x - sqrt{2x - 1}} = 2$$ $$Rightarrow sqrt{2x + 2sqrt{2x - 1}} + sqrt{2x - 2sqrt{2x - 1}} = 2sqrt{2}$$ $$Rightarrow sqrt{2x - 1 + 2sqrt{2x - 1} + 1} + sqrt{2x - 1 - 2sqrt{2x - 1} + 1} = 2sqrt{2}$$ $$Rightarrow |sqrt{2x - 1} + 1| + |sqrt{2x - 1} - 1| = 2sqrt{2}$$ $$Rightarrow sqrt{2x - 1} - 1 = frac{1}{2}cdotleft(2sqrt2 - 2 ight)$$ $$Rightarrow sqrt{2x - 1} = sqrt{2}$$ $$Rightarrow x = frac{3}{2}.$$

    作者简介:

    赵胤,海归双硕士(数学建模 & 数学教育),中国数学奥林匹克一级教练员,曾执教于首师大附属实验学校及北京四中,目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。在10余年的教学生涯中,培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手,包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖,全美数学竞赛(AMC)、美国数学邀请赛(AIME)满分等。

     

    赵胤数学竞赛课程QQ群:482131093

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zhaoyin/p/7142159.html
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