bzoj1911 [Apio2010]特别行动队

Description

Input

Output

Sample Input

4
-1 10 -20
2 2 3 4

Sample Output

9

HINT

很容易想到方程是f[i]=max(f[j]+a*(s[i]-s[j])^2+b*(s[i]-s[j])+c)，(0<=j<i)；

但是这样n^2会超时,而且方程是1d1d的dp，所以可以考虑斜率优化

假设状态j比状态k优，则有

f[j] + a*(s[i]-s[j])^2 + b*(s[i]-s[j]) + c > f[k] + a*(s[i]-s[k])^2 + b*(s[i]-s[k]) + c

整理得

f[j] - f[k] + a*s[j]^2 - a*s[k]^2 + b*s[k] - b*s[j] - 2*a*s[i]*s[j] + 2*a*s[i]*s[k] > 0

因为2*a*s[i]是常数，所以移到右边去

f[j] - f[k] + a*s[j]^2 - a*s[k]^2 + b*s[k] - b*s[j] > 2*a*(s[j]-s[k])

令g[i]=f[i] + a*s[i]^2 - b*s[i]

则有g[j]-g[k]>2*a*(s[j]-s[k])

移项得(g[j]-g[k])/(s[j]-s[k])>2*a

显然令g[i]为纵坐标，s[i]为横坐标，右边就是j、k对应的点之间连线的斜率。

然后斜率优化搞掉

#include<cstdio>
inline int read()
{   int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,a,b,c,x,t=1,w=1;
long long s[1000020];
long long f[1000020];
long long g[1000020];
int q[1000020];
inline long long calc(int x,int y)
{return a*(s[x]-s[y])*(s[x]-s[y])+b*(s[x]-s[y])+c;}
inline double cal(int x,int y)
{
	double a=(double)g[y]-g[x],b=s[y]-s[x];
	return a/b;
}
int main()
{
	n=read();a=read();b=read();c=read();
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		long long x=read();
		s[i]=s[i-1]+x;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
	  {
	  	int save=2*a*s[i];
	  	while (t<w && cal(q[t],q[t+1])>=save)t++;
	  	int now=q[t];
	  	f[i]=(long long) f[now]+a*(s[i]-s[now])*(s[i]-s[now])+b*(s[i]-s[now])+c;
	  	g[i]=(long long) f[i]+a*s[i]*s[i]-b*s[i];
	  	while (t+1<=w && cal(q[w],i)>cal(q[w-1],q[w])) w--;
	  	q[++w]=i;
	  }
	printf("%lld",f[n]);
}