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  • 2014.6.14模拟赛【bzoj1592】[Usaco2008 Feb]Making the Grade 路面修整

    Description

    FJ打算好好修一下农场中某条凹凸不平的土路。按奶牛们的要求,修好后的路面高度应当单调上升或单调下降,也就是说,高度上升与高度下降的路段不能同时出现在修好的路中。 整条路被分成了N段,N个整数A_1, ... , A_N (1 <= N <= 2,000)依次描述了每一段路的高度(0 <= A_i <= 1,000,000,000)。FJ希望找到一个恰好含N个元素的不上升或不下降序列B_1, ... , B_N,作为修过的路中每个路段的高度。由于将每一段路垫高或挖低一个单位的花费相同,修路的总支出可以表示为: |A_1 - B_1| + |A_2 - B_2| + ... + |A_N - B_N| 请你计算一下,FJ在这项工程上的最小支出是多少。FJ向你保证,这个支出不会超过2^31-1。

    Input

    * 第1行: 输入1个整数:N * 第2..N+1行: 第i+1行为1个整数:A_i

    Output

    * 第1行: 输出1个正整数,表示FJ把路修成高度不上升或高度不下降的最小花费

    Sample Input

    7
    1
    3
    2
    4
    5
    3
    9

    Sample Output

    3

    HINT

     

    FJ将第一个高度为3的路段的高度减少为2,将第二个高度为3的路段的高度增加到5,总花费为|2-3|+|5-3| = 3,并且各路段的高度为一个不下降序列 1,2,2,4,5,5,9。

    额……考场上想了好久想到一个貌似不是很严密的结论(后来证明是正确的):把高度进行修改时,一定是把它修改成原数组中的数字是最优的。因为无论是将数字加减多少,总是当它和旁边的数字一样大是最优的。因为这样能刚好满足单调性(两数相等)并且改变的数值最小。有可能前面修改的数字在后面出现要变动的情况,所以它有可能取到原数组中的任何一个数字。然后预处理排序一下得到有序的数组b[]。于是可以写出dp方程:f[i][j]表示前i个数、末尾的数改成了第j大的数的最小代价,则f[i][j]=min(f[i-1][k])+abs(a[i]-b[j]),1<=k<=j。但是这样是n^3的,所以还要加上一个优化:我们计算min(f[i-1][k])是O(n)的,但是这个是上一步的状态,所以可以在上一步直接保存min(f[i-1][k]),用类似前缀和的方法。最后不能忘了把b[]颠倒一下求下降的

    #include<cstdio>
    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    #include<cstring>
    #define mod 1000007
    #define inf 0x7fffffff
    using namespace std;
    inline int read()
    {
        int x=0;char ch=getchar();
        while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
        while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
        return x;
    }
    int a[5001],s[5001];
    int f[2001][2001];
    int sav[2001][2001];
    int from[2001];
    int head[mod];
    struct node{
        int v,next;
    }hashing[100000];
    int cnt,len,ans=2147483647;
    inline void ins(int u,int w)
    {
        hashing[++cnt].v=w;
        hashing[cnt].next=head[u];
        head[u]=cnt;
    }
    int main()
    {
        int n=read();
        for(int i=1;i<=n;i++) 
        {
            a[i]=read();
            int now=a[i]%mod;bool mark=0;
            for (int j=head[now];j;j=hashing[j].next)
            {
                if(hashing[j].v==now) {mark=1;break;}
            }
            if(mark) continue;
            ins(now,a[i]);
            s[++len]=a[i];
        }
        sort(s+1,s+len+1);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
          sav[i][0]=2147483647;
          for (int j=1;j<=len;j++)
          {
            f[i][j]=2147483647;
            int add=abs(a[i]-s[j]);
            f[i][j]=sav[i-1][j]+add;
            sav[i][j]=min(sav[i][j-1],f[i][j]);
          }
        }
        for (int i=1;i<=len;i++)
          ans=min(f[n][i],ans);
           
        int rev[len+1];
        for (int i=1;i<=len;i++)rev[i]=s[len-i+1];
        for (int i=1;i<=len;i++)s[i]=rev[i];
        memset(f,0,sizeof(f));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
          sav[i][0]=2147483647;
          for (int j=1;j<=len;j++)
          {
            f[i][j]=2147483647;
            int add=abs(a[i]-s[j]);
            f[i][j]=sav[i-1][j]+add;
            sav[i][j]=min(sav[i][j-1],f[i][j]);
          }
        }
        for (int i=1;i<=len;i++)
          ans=min(f[n][i],ans);
           
        printf("%d",ans);
    }
    
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