[Leetcode][动态规划] 买卖股票的最佳时机IV

一、题目描述

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。

注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: [2,4,1], k = 2
输出: 2
解释: 在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

示例 2:

输入: [3,2,6,5,0,3], k = 2
输出: 7
解释: 在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
     随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

二、问题分析

1、这是比较经典和复杂的动态规划问题，因为需要同时记录两个状态，对状态的定义也比较严格，值得好好分析

2、定义状态：buy[i][j] 在第i天交易正好是第j次买入时能够获得的最大利润;sell[i][j] 在第i天交易正好是第j次卖出时能够获得的最大利润

3、状态转移：buy[i][j]=max(buy[i-1][j],sell[i-1][j-1]-prices[i]);sell[i][j]=max(sell[i-1][j],buy[i-1][j]+prices[i]);
4、初始状态：buy[0~n-1][0]=INT_MIN,sell[0~n-1][0]=0;
5、最终状态：sell[n-1][k]
6、其实可以省略i，只保留交易次数，需要注意的是当交易次数大于等于天数的一半，就可以把所有上升的天数相加

三、AC代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        if (n < 2 || k < 1)return 0;
        if (k >= n / 2)return getMax(prices);
        vector<int>buy(k + 1, INT_MIN), sell(k + 1,0);
        int i, j;
        for (i = 0; i < n; ++i) {
            for (j = 1; j <= k; ++j) {
                buy[j] = max(buy[j], sell[j - 1] - prices[i]);
                sell[j] = max(sell[j], buy[j] + prices[i]);
            }
        }
        return sell[k];
    }
private:
    int getMax(vector<int>&prices) {
        int res = 0;
        for (int i = 1; i < prices.size(); ++i) {
            if (prices[i] > prices[i - 1])
                res += (prices[i] - prices[i - 1]);
        }
        return res;
    }
};