Codeforces Beta Round #25 (Div. 2 Only) C. Roads in Berland（Floyd变形）

 

题目大意

 

给了一个 n(2<=n<=300) 个节点的无向图，告诉了每两个节点之间的最短距离，现在要新建 K(1<=K<=300) 条边

要求：每建一条边，输出任意两个点之间最短的距离的和

 

做法分析

 

首先，如果直接暴力的话肯定 T(因为是 o(n⁴) 的时间复杂度)

我们需要注意的是，每次只是新建一条边

令 g[i][j] 表示顶点 i 和顶点 j 之间的最短距离

假设新建的边是 a---b 边权为 c

如果 g[a][b]<=c 那么，新建的边不会用来更新多有顶点之间的最短距离，这时候直接统计最短距离和输出就行，下面讨论 g[a][b]>c 的情况

        首先 g[a][b]=g[b][a]=c 这是肯定的了

        由于只是新加了边，原来图中的边还存在（虽然我们不知道这些边的具体情况），那么我们可以这么做，还是利用 Floyd 算法的思想

        先求出 a 到其他所有点的最短距离 g[i][a] (由于 g[a][i]=g[i][a]，我们只讨论一种情况)

                g[i][a] 要么不经过 a---b 这条边，要么经过这条边，于是很好解决了：

                        g[i][a]=g[a][i]=min( g[i][a], g[i][b]+g[b][a] )

        同理，求出 b 到其他所有的点的最短距离：

                        g[i][b]=g[b][i]=min( g[i][b], g[i][a]+g[a][b] )

        最后，对于任意两个点 i 和 j，他们的最短路，要么经过 a，要么经过 b，要么还是原来的值，那么

                        g[i][j]=min(g[i][j], min(g[i][a]+g[a][j], g[i][b]+g[b][j]) )

这样，任意两个点之间的最短路就求出来了，然后暴力统计就行了

 

参考代码

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N=3006;
long long g[N][N];
int n, m;

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++)
            scanf("%I64d", &g[i][j]);
    scanf("%d", &m);
    for(int e=0, a, b, c; e<m; e++)
    {
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        if(g[a][b]>c)
        {
            g[a][b]=g[b][a]=c;

            for(int k=1; k<=n; k++)
                for(int i=1; i<=n; i++)
                    g[i][a]=g[a][i]=min(g[a][i], g[a][b]+g[b][i]);
            for(int k=1; k<=n; k++)
                for(int i=1; i<=n; i++)
                    g[i][b]=g[b][i]=min(g[b][i], g[b][a]+g[a][i]);
            for(int i=1; i<=n; i++)
                for(int j=i+1; j<=n; j++)
                {
                    g[i][j]=g[j][i]=min(g[i][j], g[i][a]+g[a][j]);
                    g[i][j]=g[j][i]=min(g[i][j], g[i][b]+g[b][j]);
                }
        }
        long long sum=0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=i+1; j<=n; j++)
                sum+=g[i][j];
        printf("%I64d\n", sum);
    }
}

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