最大团问题

  

一、定义

一个无向图 G=(V，E)，V 是点集，E 是边集。取 V 的一个子集 U，若对于 U 中任意两个点 u 和 v，有边 (u,v)∈E，那么称 U 是 G 的一个完全子图。 U 是一个团当且仅当 U 不被包含在一个更大的完全子图中。

G的最大团指的是定点数最多的一个团。

二、常用做法

1、顺序贪婪启发式搜索算法

2、局部搜索启发式算法

3、智能搜索启发式算法

4、遗传算法

5、模拟退火算法

6、禁忌算法

7、神经网络算法

8、改进蚁群算法-AntMCP

看了所列出的算法，是不是有一种头皮发麻的感觉。反正我是这样的感觉...因为上面的东西我都不会...

如果你想看上面的东西，百度百科中有一些简略的介绍，我太弱，没看懂。

百度百科传送门：最大团问题

下面说说常用的一种搜索算法

当然，这种算法很不高效，所以当图中有 100 个点以上时，请慎用

先看看一个显而易见的 DFS ：

　　　　初始化：

　　　　　　从一个点 u 开始，把这个点加入到一个集合中，设为 U。遍历一遍所有和他相连的点，把他们放入另一个集合 S1 中，接下来进行第一遍 DFS

　　　　第一遍 DFS ：

　　　　　　从 S1 中选择一个点 u1，这个点肯定和集合 U 中的任何一个点相连。把集合 S1 中 u1 能访问到的点加入到集合 S2 中，并把 u1 加入到集合 U 中，进行第二遍 DFS

　　　　第二遍 DFS ：

　　　　　　从 S2 中选择一个点 u2，这个点肯定和集合 U 中的任何一个点相连。把集合 S2 中 u2 能访问到的点加入到集合 S3 中，并把 u2 加入到集合 U 中，进行第三遍 DFS

　　　　第三遍 DFS ：

　　　　　　从 S3 中选择一个点 u3，这个点肯定和集合 U 中的任何一个点相连。把集合 S3 中 u3 能访问到的点加入到集合 S4 中，并把 u3 加入到集合 U 中，进行第四遍 DFS

　　　　......

　　　　最底层的 DFS ：

　　　　　　当某个 S 集合为空集的时候，DFS 结束，这时候我们就找到了一个完全子图，用这个完全子图更新我们的最大团。退出当前的 DFS，返回上层 DFS，接着找下一个完全子图，直到找完所有的完全子图

按照上面介绍的 DFS 方法，肯定能够得到一个最大团，因为该 DFS 把所有的完全子图都枚举了一遍。但是这样做的时间复杂度是不是太高了？

于是产生了下面的 DFS 过程，大致上和上面的 DFS 一样，只不过有一些地方不太一样了

首先，我们先得到后几个点组成的最大团到底是多大，（最开始的时候肯定是最后一个点单独构成一个最大团，点数为1）然后我们再 DFS：

　　　　初始化：

　　　　　　从一个点 u 开始，把这个点加入集合 U 中。将编号比它大的且和它相连的点加入集合 S1 中，为了方便，将集合 S1 中的点有序，让他们从小到大排列，进行第一遍 DFS

　　　　第一遍 DFS ：

　　　　　　从 S1 中选择一个点 u1，遍历 S1 中，所有编号比 u1 大且和 u1 相连的点，其实也就是排在 u1 后面，并且和 u1 相连的点，将它们加入集合 S2 中。同理，让 S2 中的点也按照编号也从小到大排列。将 u1 加入集合 U 中，进行第二遍 DFS

　　　　第二遍 DFS ：

　　　　　　从 S2 中选择一个点 u2，遍历 S2 中，所有排在 u2 后面且和 u2 相连的点，并把它们加入集合 S3 中，让 S3 中的点按照编号从小到大排列，将 u2 加入集合 U 中进行第三遍 DFS

　　　　第三遍 DFS ：

　　　　　　从 S3 中选择一个点 u3，遍历 S3 中，所有排在 u3 后面且和 u3 相连的点，并把它们加入集合 S4 中，让 S4 中的点按照编号从小到大排列，将 u3 加入集合 U 中进行第四遍 DFS

　　　　......

　　　　最底层的 DFS ：

　　　　　　当某个 S 集合为空时，DFS 过程结束，得到一个只用后面几个点构成的完全子图，并用它去更新只用后面几个点构成的最大团。退出当前 DFS，返回上层 DFS，接着找下一个完全子图，直到找完所有的完全子图

上面的 DFS 过程，如果不加任何剪枝的话，其实和第一个 DFS 是差不多的，但是既然我们都这样 DFS 了，能不能想一想怎么剪枝呢？

假设我们当前处于第 i 层 DFS，现在需要从 Si 中选择一个 ui，把在 Si 集合中排在 ui 后面的和 ui 相连的点加入集合 S(i+1) 中，把 ui 加到集合 U 中

可能大家稍作思考之后就想到了一个剪枝：

剪枝1：如果 U 集合中的点的数量+1（选择 ui 加入 U 集合中）+Si 中所有 ui 后面的点的数量 ≤ 当前最优值，不用再 DFS 了

还有什么剪枝呢？

注意到我们是从后往前选择 u 的，也就是说，我们在 DFS 初始化的时候，假设选择的是编号为 x 的点，那么我们肯定已经知道了用 [x+1, n] ，[x+2, n]，[x+3, n] ...[n,n] 这些区间中的点能构成的最大团的数量是多大

剪枝2：如果 U 集合中的点的数量+1（理由同上）+[ui, n]这个区间中能构成的最大团的顶点数量 ≤ 当前最优值，不用再 DFS了

有这两个剪枝就够了吗？

不，我们还能想出一个剪枝来：

剪枝3：如果 DFS 到最底层，我们能够更新答案，不用再 DFS 了，结束整个 DFS 过程，也不再返回上一层继续 DFS 了

为什么？因为我们如果再继续往后 DFS 的话，点的编号变大了，可用的点变少了（可用的点在一开始 DFS 初始化的时候就确定了，随着不断的加深 DFS 的层数，可用的点在不断的减少）

有了上面三个剪枝，100 个点以内的图，我们也能非常快的出解了

可能有人会问，如果想知道最大团包含哪些节点该怎么办？

这还不简单？每次 DFS 都会加一个点进入 U 集合中，DFS 到最底层，更新最大团数量的时候，U 集合中的点一定是一个完全子图中的点集，用 U 集合更新最大团的点集就行了

三、常用结论

1、最大团点的数量=补图中最大独立集点的数量

2、二分图中，最大独立集点的数量+最小覆盖点的数量=整个图点的数量

3、二分图中，最小覆盖点的数量=最大匹配的数量

4、图的染色问题中，最少需要的颜色的数量=最大团点的数量

四、刷题练手

1、先来一道裸题：ZOJ 1492 Maximum Clique

给了一个最多包含 50 个点的无向图，让求这个图中最大团所包含的的点的数量

直接按照上面所讲的 DFS 过程做就行

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

struct MAX_CLIQUE {
    static const int N=60;

    bool G[N][N];
    int n, Max[N], Alt[N][N], ans;

    bool DFS(int cur, int tot) {
        if(cur==0) {
            if(tot>ans) {
                ans=tot;
                return 1;
            }
            return 0;
        }
        for(int i=0; i<cur; i++) {
            if(cur-i+tot<=ans) return 0;
            int u=Alt[tot][i];
            if(Max[u]+tot<=ans) return 0;
            int nxt=0;
            for(int j=i+1; j<cur; j++)
                if(G[u][Alt[tot][j]]) Alt[tot+1][nxt++]=Alt[tot][j];
            if(DFS(nxt, tot+1)) return 1;
        }
        return 0;
    }

    int MaxClique() {
        ans=0, memset(Max, 0, sizeof Max);
        for(int i=n-1; i>=0; i--) {
            int cur=0;
            for(int j=i+1; j<n; j++) if(G[i][j]) Alt[1][cur++]=j;
            DFS(cur, 1);
            Max[i]=ans;
        }
        return ans;
    }
};

MAX_CLIQUE fuck;

int main() {
    while(scanf("%d", &fuck.n), fuck.n) {
        for(int i=0; i<fuck.n; i++)
            for(int j=0; j<fuck.n; j++)
                scanf("%d", &fuck.G[i][j]);
        printf("%d
", fuck.MaxClique());
    }
    return 0;
}

2、来一个稍微麻烦点的题：HDU 3585 maximum shortest distance

给了平面上 n 个点，要求选出 k 个点来，使得这 k 个点中，距离最近的两个点的距离最大。n 最大为50

二分答案后，如果两个点之间的距离大于当前的判断值，加边，在用最大团跑一下，根据得到最大团点的数量和 k 的大小关系，调整二分的上下界

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N=60;

struct MAX_CLIQUE {
    bool G[N][N];
    int n, Max[N], Alt[N][N], ans;

    bool DFS(int cur, int tot) {
        if(cur==0) {
            if(tot>ans) {
                ans=tot;
                return 1;
            }
            return 0;
        }
        for(int i=0; i<cur; i++) {
            if(cur-i+tot<=ans) return 0;
            int u=Alt[tot][i];
            if(Max[u]+tot<=ans) return 0;
            int nxt=0;
            for(int j=i+1; j<cur; j++)
                if(G[u][Alt[tot][j]]) Alt[tot+1][nxt++]=Alt[tot][j];
            if(DFS(nxt, tot+1)) return 1;
        }
        return 0;
    }

    int MaxClique() {
        ans=0, memset(Max, 0, sizeof Max);
        for(int i=n-1; i>=0; i--) {
            int cur=0;
            for(int j=i+1; j<n; j++) if(G[i][j]) Alt[1][cur++]=j;
            DFS(cur, 1);
            Max[i]=ans;
        }
        return ans;
    }
};

struct Point {
    double x, y;

    double dis(Point A) {
        return sqrt((x-A.x)*(x-A.x)+(y-A.y)*(y-A.y));
    }
} A[N];
int n, m;

MAX_CLIQUE fuck;

void build(double R) {
    fuck.n=n;
    for(int i=0; i<n; i++)
        for(int j=0; j<n; j++) {
            if(A[i].dis(A[j])>=R) fuck.G[i][j]=1;
            else fuck.G[i][j]=0;
        }
}

int main() {
    while(scanf("%d%d", &n, &m)!=EOF) {
        for(int i=0; i<n; i++) {
            scanf("%lf%lf", &A[i].x, &A[i].y);
        }
        double L=0, R=20000.0;
        for(int T=0; T<40; T++) {
            double dis=(L+R)/2.0;
            build(dis);
            if(fuck.MaxClique()>=m) L=dis;
            else R=dis;
        }
        printf("%.2lf
", L);
    }
    return 0;
}

3、来一个一般无向图最大独立集的题目：POJ 1419 Graph Coloring

给了一个有 n 个点 m 条边的无向图，要求用黑、白两种色给图中顶点涂色，相邻的两个顶点不能涂成黑色，求最多能有多少顶点涂成黑色。图中最多有 100 个点

利用上面提到的结论：最大团点的数量=补图中最大独立集点的数量。建立补图，求最大团即可

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

struct MAX_CLIQUE {
    static const int N=106;

    bool G[N][N];
    int Max[N], Alt[N][N], x[N], y[N];
    int n, ans, *path, *res;

    bool DFS(int cur, int tot) {
        if(cur==0) {
            if(tot>ans) {
                swap(path, res), ans=tot;
                return 1;
            }
            return 0;
        }
        for(int i=0; i<cur; i++) {
            if(cur-i+tot<=ans) return 0;
            int u=Alt[tot][i];
            if(Max[u]+tot<=ans) return 0;
            int nxt=0;
            for(int j=i+1; j<cur; j++)
                if(G[u][Alt[tot][j]]) Alt[tot+1][nxt++]=Alt[tot][j];
            path[tot+1]=u;
            if(DFS(nxt, tot+1)) return 1;
        }
        return 0;
    }

    int MaxClique() {
        ans=0, memset(Max, 0, sizeof Max);
        path=x, res=y;
        for(int i=n-1, cur; i>=0; i--) {
            path[1]=i, cur=0;
            for(int j=i+1; j<n; j++) if(G[i][j]) Alt[1][cur++]=j;
            DFS(cur, 1);
            Max[i]=ans;
        }
        return ans;
    }
};

MAX_CLIQUE fuck;

int main() {
    int T, m;
    scanf("%d", &T);
    for(int ca=1; ca<=T; ca++) {
        scanf("%d%d", &fuck.n, &m);
        memset(fuck.G, true, sizeof fuck.G);
        for(int i=0, a, b; i<m; i++) {
            scanf("%d%d", &a, &b);
            fuck.G[a-1][b-1]=fuck.G[b-1][a-1]=0;
        }
        int ans=fuck.MaxClique();
        printf("%d
", ans);
        for(int i=1; i<=ans; i++) {
            printf("%d", fuck.res[i]+1);
            if(i==ans) printf("
"); else printf(" ");
        }
    }
    return 0;
}

4、来一个染色问题：POJ 1129 Channel Allocation

最多 26 广播电台...我还是讲抽象之后的题意吧：最多26个点的无向图，要求相邻的节点不能染成同一个颜色，问最少需要多少颜色染完所有的顶点

利用上面提到的结论：图的染色问题中，最少需要的颜色的数量=最大团点的数量，建图，跑最大团即可，另外，这题还需要构造解

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

struct MAX_CLIQUE {
    static const int N=27;

    bool G[N][N];
    int n, Max[N], Alt[N][N], ans;

    bool DFS(int cur, int tot) {
        if(cur==0) {
            if(tot>ans) {
                ans=tot;
                return 1;
            }
            return 0;
        }
        for(int i=0; i<cur; i++) {
            if(cur-i+tot<=ans) return 0;
            int u=Alt[tot][i];
            if(Max[u]+tot<=ans) return 0;
            int nxt=0;
            for(int j=i+1; j<cur; j++)
                if(G[u][Alt[tot][j]]) Alt[tot+1][nxt++]=Alt[tot][j];
            if(DFS(nxt, tot+1)) return 1;
        }
        return 0;
    }

    int MaxClique() {
        ans=0, memset(Max, 0, sizeof Max);
        for(int i=n-1; i>=0; i--) {
            int cur=0;
            for(int j=i+1; j<n; j++) if(G[i][j]) Alt[1][cur++]=j;
            DFS(cur, 1);
            Max[i]=ans;
        }
        return ans;
    }
};

MAX_CLIQUE fuck;
char buff[30];

int main() {
    while(scanf("%d", &fuck.n), fuck.n) {
        memset(fuck.G, 0, sizeof fuck.G);
        for(int i=0; i<fuck.n; i++) {
            scanf("%s", buff);
            for(int j=2; buff[j]; j++) {
                int u=buff[j]-'A';
                fuck.G[i][u]=fuck.G[u][i]=1;
            }
        }
        int ans=fuck.MaxClique();
        if(ans==1) printf("1 channel needed.
");
        else printf("%d channels needed. 
", ans);
    }
    return 0;
}

先来这么4道题吧，暂时就遇见了这么多，和二分图有关的就懒得贴上来了