控制理论的趣味理解

知乎看到的对控制理论的有意思的见解

控制理论的方向可太多了。控制这玩意儿，说简单点就是把现实里的某个东西用数学进行描述，然后在数学的世界里设计一个函数（映射）把观测量转换成输入使得输出接近一个目标函数。

1. 把现实里的某个东西用数学进行描述：光这一个就有好多方向，换一个对象就是一篇论文，换一种描述就是另一篇论文。
1. 当然坑也不少，当初研究室的小伙伴用流形描述了一个多智能体系统，建完这个流弊哄哄的模型以后，发现以人类当今的数学水平根本没法获得解析解。。。
2. 这个方向还有用概率统计方法建模（系统辨识）的方法，原理跟机器学习类似，我就是因为以前搞过这个现在做人工智能的工作毫无压力。
3. 这个领域最前沿的就是对量子力学系统的建模，打算控制原子夸克。当初研究室里选这个方向的都是脑子不正常的天才（经常纠正教科书错误那种）。
2. 在数学的世界里设计一个函数（映射）：这个是控制最有意思的部分，需要的数学知识也是最多的，比如线性代数这种级别数学的面对复杂的模型根本不够用，有时候要上算子才能搞定。
1. 最坑的是有些时候是你证明了肯定存在这么一种函数能够满足你的控制目标，但是你就是不知道这个函数长什么样，hahaha。
3. 目标函数：同一个目标有不同的数学描述，魔改一些函数可能对控制器的性能有突飞猛进的影响。我的硕士论文就是找到了个新的目标函数。

作者：雾雨霜刃
链接：https://www.zhihu.com/question/300272079/answer/656653326
来源：知乎
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目标函数的定义

　　一个工程设计问题 ，常有许多可行的设计方案 ，最优化设计的任务是要找出其中最优的一个方案。评价最优方案的标准应是在设计中能最好地反映该项设计所要追求的某些特定目标。通常 ，这些目标可以表示成设计变量的数学函数 ，这种函数称为目标函数。

 

　　目标函数f(x)就是用设计变量来表示的所追求的目标形式，所以目标函数就是设计变量的函数，是一个标量。从工程意义讲，目标函数是系统的性能标准，比如，一个结构的最轻重量、最低造价、最合理形式；一件产品的最短生产时间、最小能量消耗；一个实验的最佳配方等等，建立目标函数的过程就是寻找设计变量与目标的关系的过程，目标函数和设计变量的关系可用曲线、曲面或超曲面表示。

目标函数的两个重要概念

等值线(等值面)

　　不同的设计点X代表不同的设计方案，不同的设计方案可以达到同样的目标值。在数学上，具有相同目标函数值的点并非一个，而是很多，例如：二维设计中，目标函数是三维空间中的曲面，具有相同目标函数值的点在二维空间上描绘出一簇簇曲线，如右图所示，这种n维设计空间中具有相同目标函数值的设计点在n维空间中构成的曲线(面)称为目标函数的等值线(面)。显而易见，等值线(面)是一簇簇超曲线(面)，在同一条超曲线(面)上有很多设计点，代表了不同的设计方案，但它们却对应有相同的目标值.不同的等值线有不同的目标值。  

梯度

梯度是目标函数f(X)对各个设计变量的偏导数所组成的向量，并以符号“▽f(X)"表示，即

　　从几何意义上讲，梯度向量在目标函数面的(n+1)维空间中垂直于目标函数面，在设计变量的n维空间中垂直于目标函数的等值面。以二维为例，如下图所示，当f(X) =ax1+bx2表示目标函数面是三维空间中的一个平面时，其等值线是一簇簇平行线C1，C2……，梯度▽f(X(k))既垂直于目标函数面，又垂直于等值线。

　　在最优化设计中有时可以建立多个目标函数，这种问题称为多目标函数间题。一般说来 ，目标函数越多，对设计的评价就越周全 ，但计算也越复杂。