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  • 如何理解拉格朗日乘子法?



    想象一下,目标函数[公式]是一座山的高度,约束[公式]是镶嵌在山上的一条曲线如下图。(渣画技看看就好了)

    你为了找到曲线上的最低点,就从最低的等高线(0那条)开始网上数。数到第三条,等高线终于和曲线有交点了(如上图所示)。因为比这条等高线低的地方都不在约束范围内,所以这肯定是这条约束曲线的最低点了。

    而且约束曲线在这里不可能和等高线相交,一定是相切。因为如果是相交的话,如下图所示,那么曲线一定会有一部分在B区域,但是B区域比等高线低,这是不可能的。

    两条曲线相切,意味着他们在这点的法线平行,也就是法向量只差一个任意的常数乘子(取为[公式]):[公式], 我们把这个式子的右边移到左边,并把常数移进微分算子,就得到[公式]
    把这个式子重新解释一下,这个就是函数[公式]无约束情况下极值点的必要条件。

    作者:戏言玩家
    链接:https://www.zhihu.com/question/38586401/answer/105588901
    来源:知乎
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