1.1 LAS产生label的计算
LAS是可以看做能够直接计算给定一段acoustic feature时输出token sequences的概率，即(p(Y|X)),LAS每次给定一个acoustic feature就会产生一个token 的概率，将所有的概率乘起来就是token sequences的概率。其实在训练的时候，并不是在每一步都找概率最大的，这样会陷入局部最优，一般会用到beam search来寻找一个最优的概率。在图中，(hat{Y})表示的是正确的token sequence ,训练的目标就是要找到一个( heta)，使得给定一段acoustic features时，输出(hat{Y})的概率最大。在测试的时候，就是根据训练找到的$$在给定acoustic features时，找出概率最大的token sequence，就是语音识别的结果。
1.2 CTC和RNN-T的计算
CTC和RNN-T都需要alignment，所以不能像LAS那样直接计算。
。其概率是穷举所有的alignment,将所有的alignment的概率加起来，就是token sequence的概率。所以会碰见的几个问题如下图：
- 怎么计算所有可能的alignment
- 怎么将所有可能的alignment加起来
- 怎么训练( heta)
1.2.1 所有的alignment
HMM中是对token进行重复，CTC是引入了(phi),可以插在任何地方，但是其个数和token重复个数的和要等于acoustic features的个数，RNN-T也引入了(phi)，但是其是作为一个acoustic feature结束，下一个acoustic features开始的间隔，因此，(phi)的个数就等于acoustic features的个数。
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HMM
一个token可以重复(t_{i})次，但是所有token重复次数的和要等于acoustic features的长度T，即图中灰色部分所描述的公式。表中横轴代表acoustic features，纵轴代表token。从左上角开始一直走到右下角，中间每一步只能有两个方向：向右走或者是向右下走。但是终点一定要是右下角才算是合法的路径。从起点开始一直走到终点的所有合法路径就是所有可能的alignment。下图就是一个非法路径
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CTC
CTC在最后合并token的规则是：（1）首先合并重复项（2）去掉token.例如：a a (phi) (phi) r (phi) r(phi) s s s (phi)s，经过第一步的结果是：a(phi)r(phi)r(phi)s(phi) s,经过第二步的结果是a r r s s 。下面的合法路径的选择都是基于这个规则下。
CTC中的(phi)可以插在任何地方，开头，token之间或者结尾。但是(phi)的个数加上token的个数要等于acoustic features的个数。其中(phi)的个数可以为0，但是每一个token的个数不能为0。
CTC和HMM不同，在CTC进行的过程中，纵轴是在开头，结尾和每一个token之间都插入一个(phi)，其合法路径的规则有3个要求
(1)其初始的起点可以有两个，即(x^1)处的状态可以使(phi)或者是第一个token，这里是C；
(2)其最后的终点也有两个状态，即(x^6)处的状态可以是(phi)或者是最后一个token,这里是t
(3)当中间状态是token时，且下一个token与之不重复时，其下一步的状态可以有3个，向右走--下一步还是当前的token,向右下方走--下一步就是(phi)，跨越(phi)向右下方走（走马步）--下一步就是下一个token，【见图3】
(4) 当中间状态为(phi)时，下一步只能有2种情况，向右走或者向右下方走。【见图2、图3】
(5) 当中间状态是token时，且下一个token与之重复时，其下一步的状态只能是2个，向右走--下一步还是当前的token,向右下方走--下一步就是(phi)【见图4】，如果走马步，就会在合并的时候丢失掉一个token,所以不能跨越(phi)。
下图举例列出了两条合法路径：
- RNN-T
在RNN-T的过程中，最后一个token后至少有一个(phi)，因为他是作为一个acoustic feature和另一个acoustic feature的间隔，当一个单词说完，它肯定要出现(phi)，不然下一段acoustic features没办法进来。而在token之间则可以有也可以没有。
向右走表示，插入(phi)，可以理解为当前的acoustic feature没有任何东西，什么都没有输出的，我先插入一个(phi)，你再给我下一个acoustic feature。向下走就表示输出一个token，理解为当前的acoustic feature输出一个token。由于最后一个必须是(phi)，所以终点在右下角还右边一格。
RNN-T一个acoustic feature可以识别出很多token(参见上面的RNN-T的介绍)，所以可能第一个acoustic features就把想要的东西全部都输出了，后面全部插入(phi)即可。下图显示了一条非法路径
1.2.2 HMM、CTC、RNN-T的路径方式比较
HMM的合法路径只能是复制自己和到达下一个token，CTC的合法路径是复制自己或者到(phi)或者到下一个token,RNN-T的合法路径是到达下一个token或者插入(phi)。