最近接触到一个抽奖需求，加上平时玩的暗黑3很少掉暗金装备，就抽空学习下这类概率问题，暂时按网络称为掉宝类型概率。
例如游戏中打败一个boss，会掉落下面其中一个物品，而每个物品都有一定概率：
1. 靴子 20%
2. 披风 25%
3. 饰品 10%
4. 双手剑 5%
5. 金币袋 40%
现在的问题就是如何根据概率掉落一个物品给玩家。
一. 一般算法：生成一个列表，分成几个区间，例如列表长度100，1-20是靴子的区间，21-45是披风的区间等，然后随机从100取出一个数，看落在哪个区间。算法时间复杂度：预处理O(MN)，随机数生成O(1)，空间复杂度O(MN)，其中N代表物品种类，M则由最低概率决定。
二、离散算法：也就是上面的改进，竟然1-20都是靴子，21-45都是披风，那抽象成小于等于20的是靴子，大于20且小于等于45是披风，就变成几个点[20,45,55,60,100]，然后也是从1到99随机取一个数R，按顺序在这些点进行比较，知道找到第一个比R大的数的下标，比一般算法减少占用空间，还可以采用二分法找出R，这样，预处理O(N)，随机数生成O(logN)，空间复杂度O(N)。
请点击查看详细：http://www.cnblogs.com/miloyip/archive/2010/04/21/1717109.html
三、Alias Method
Alias Method就不太好理解，实现很巧妙，推荐先看看这篇文章：http://www.keithschwarz.com/darts-dice-coins/
大致意思：把N种可能性拼装成一个方形（整体），分成N列，每列高度为1且最多两种可能性，可能性抽象为某种颜色，即每列最多有两种颜色，且第n列中必有第n种可能性，这里将第n种可能性称为原色。
想象抛出一个硬币，会落在其中一列，并且是落在列上的一种颜色。这样就得到两个数组：一个记录落在原色的概率是多少，记为Prob数组，另一个记录列上非原色的颜色名称，记为Alias数组，若该列只有原色则记为null。
之前的例子，为了便于演示换成分数
1. 靴子 20% -> 1/4
2. 披风 25% -> 1/5
3. 饰品 10% -> 1/10
4. 双手剑 5% -> 1/20
5. 金币袋 40% -> 2/5
然后每个都乘以5（使每列高度为1），再拼凑成方形
拼凑原则：每次都从大于等于1的方块分出一小块，与小于1的方块合成高度为1
由上图方形可得到两个数组：
Prob: [3/4, 1/4, 1/2, 1/4, 1]
Alias: [4, 4, 0, 1, null] (记录非原色的下标)
之后就根据Prob和Alias获取其中一个物品
随机产生一列C，再随机产生一个数R，通过与Prob[C]比较，R较大则返回C，反之返回Alias[C]。
Alias Method 复杂度：预处理O(NlogN)，随机数生成O(1)，空间复杂度O(2N)
PHP实现Alias Method
/**
*
@desc 拼凑，获得Prob和Alias数组
*
@param array $data
*
@param array $prob
*
@param array $alias
*/
function
init(array
$data,
array
&$prob,
array
&$alias)
{
$nums
= count($data);
$small
= $large
= array();
for
($i
= 0; $i
< $nums;
++$i)
{
$data[$i]
= $data[$i]
* $nums;
// 扩大倍数，使每列高度可为1
/**
分到两个数组，便于组合 */
if
($data[$i]
< 1) {
$small[]
= $i;
}
else
{
$large[]
= $i;
}
}
/**
将超过1的色块与原色拼凑成1 */
while
(!empty($small)
&& !empty($large))
{
$n_index
= array_shift($small);
$a_index
= array_shift($large);
$prob[$n_index]
= $data[$n_index];
$alias[$n_index]
= $a_index;
//
重新调整大色块
$data[$a_index]
= ($data[$a_index]
+ $data[$n_index])
- 1;
if
($data[$a_index]
< 1) {
$small[]
= $a_index;
}
else
{
$large[]
= $a_index;
}
}
/**
剩下大色块都设为1 */
while
(!empty($large))
{
$n_index
= array_shift($large);
$prob[$n_index]
= 1;
}
/**
一般是精度问题才会执行这一步 */
while
(!empty($small))
{
$n_index
= array_shift($small);
$prob[$n_index]
= 1;
}
}
/**
*
@desc 获取某种物品
*
@param array $prob
*
@param array $alias
*
@return int
*/
function
generation($prob,
$alias)
{
$nums
= count($prob)
- 1;
$MAX_P
= 100000; // 假设最小的几率是万分之一
$coin_toss
= rand(1, $MAX_P)
/ $MAX_P;
// 抛出硬币
$col
= rand(0, $nums);
// 随机落在一列
$b_head
= ($coin_toss
< $prob[$col])
? TRUE : FALSE; // 判断是否落在原色
return
$b_head
? $col
: $alias[$col];
}
$data
= array(0.25,
0.2, 0.1, 0.05, 0.4);
$prob
= $alias
= array();
init($data,
$prob,
$alias);
$result
= generation($prob,
$alias);
$count
= array(0,
0, 0, 0, 0);
for
($i
= 0; $i
< 10000; $i++)
{
$result
= generation($prob,
$alias);
$count[$result]++;
}
echo
'<pre>';
print_r($count);
echo
'</pre>';
/**
Array
(
[0]
=> 2463
[1]
=> 1982
[2]
=> 972
[3]
=> 507
[4]
=> 4076
)