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  • 非奇异矩阵的零度互补法则

    假设 (A in M_n(mathbf{F})) 非奇异,设 (alpha)(eta)({1,cdots,n}) 的非空子集,并用 (lvert alpha vert =r)(lvert eta vert =s)(alpha)(eta) 的基数。则零度互补法则说的就是
    egin{align}
    mathrm{nullity}(A[alpha,eta])=mathrm{nullity}(A{-1}[etac,alpha^c])
    end{align}
    以行来说(列是一样的) (mathrm{nullity}(A[alpha,eta])=r-mathrm{rank}(A[alpha,eta])),(mathrm{nullity}(A^{-1}[eta^c,alpha^c]) =n-s-mathrm{rank}(A^{-1}[eta^c,alpha^c])), 所以式 (1) 等价于秩恒等式
    egin{align}
    mathrm{rank}(A[alpha,eta])=mathrm{rank}(A{-1}[etac,alpha^c])+r+s-n
    end{align}
    由于我们可以对行和列作排列,首先放置由 (alpha) 指定的 (r) 行以及 (eta) 指定的 (s) 列,所以只需考虑表达式
    egin{align}
    A=egin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \ A_{21} & A_{22} end{bmatrix} ,qquad A^{-1}=egin{bmatrix}B_{11} & B_{12} \ B_{21} & B_{22} end{bmatrix}
    end{align}
    即可,其中 (A_{11})(B_{11}^T)(r imes s) 矩阵,而 (A_{22})(B_{22}^T)((n-r) imes (n-s)) 矩阵,这样式 (1) 说的就是 (mathrm{nullity}(A_{11})=mathrm{nullity}(B_{22})).

     
    这里的基本原则非常简单,假设 (A_{11}) 的零度(nullity) 为 (k). 如果 (k geqslant 1), 设 (Xin M_{s,k}(mathbf{F})) 的列是 (A_{11}) 的零空间的一组基,由于 (A) 非奇异,故而
    egin{align}
    Aegin{bmatrix} X \0 end{bmatrix}=egin{bmatrix}A_{11}X \ A_{21}X end{bmatrix}=egin{bmatrix} 0 \ A_{21}X end{bmatrix}
    end{align}
    是满秩的,所以 (A_{21}X)(k) 个线性无关的列. 但是
    egin{align}
    egin{bmatrix}B_{12}(A_{21}X) \ B_{22} (A_{21}X) end{bmatrix}= A^{-1}egin{bmatrix} 0 \ A_{21}X end{bmatrix}=A^{-1}Aegin{bmatrix} X \0 end{bmatrix}=egin{bmatrix} X \0 end{bmatrix}
    end{align}
    所以 (B_{22}(A_{21}X)=0), 从而 (mathrm{nullity}(B_{22}) geqslant k=mathrm{nullity}(A_{11})), 此命题当 (k=0) 时平凡地成立. 从 (B_{22}) 出发用类似地推理可得 $mathrm{nullity}(A_{11})geqslant mathrm{nullity}(B_{22}) $.
     
    当然,式 (1) 也告诉我们有 $mathrm{nullity}(A_{12}) =mathrm{nullity}(B_{12}) $, $mathrm{nullity}(A_{21}) =mathrm{nullity}(B_{21}) $, 以及 $mathrm{nullity}(A_{22}) =mathrm{nullity}(B_{11}) $. 如果 (r+s=n), 那么 (mathrm{rank}(A_{11})=mathrm{rank}(B_{22}))(mathrm{rank}(A_{22})=mathrm{rank}(B_{11})), 而如果 (n=2r=2s), 由也有 (mathrm{rank}(A_{12})=mathrm{rank}(B_{12})) 以及 (mathrm{rank}(A_{21})=mathrm{rank}(B_{21})). 最后式 (2) 告诉我们,一个 (n imes n) 非奇异矩阵的 (r imes s) 子矩阵的秩至少为 (r+s-n).

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