假设 (A in M_n(mathbf{F})) 非奇异，设 (alpha) 和 (eta) 是 ({1,cdots,n}) 的非空子集，并用 (lvert alpha
vert =r) 和 (lvert eta
vert =s) 记 (alpha) 与 (eta) 的基数。则零度互补法则说的就是
egin{align}
mathrm{nullity}(A[alpha,eta])=mathrm{nullity}(A{-1}[etac,alpha^c])
end{align}
以行来说（列是一样的） (mathrm{nullity}(A[alpha,eta])=r-mathrm{rank}(A[alpha,eta])),(mathrm{nullity}(A^{-1}[eta^c,alpha^c])
=n-s-mathrm{rank}(A^{-1}[eta^c,alpha^c])), 所以式 (1) 等价于秩恒等式
egin{align}
mathrm{rank}(A[alpha,eta])=mathrm{rank}(A{-1}[etac,alpha^c])+r+s-n
end{align}
由于我们可以对行和列作排列，首先放置由 (alpha) 指定的 (r) 行以及 (eta) 指定的 (s) 列，所以只需考虑表达式
egin{align}
A=egin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \ A_{21} & A_{22} end{bmatrix} ,qquad A^{-1}=egin{bmatrix}B_{11} & B_{12} \ B_{21} & B_{22} end{bmatrix}
end{align}
即可，其中 (A_{11}) 和 (B_{11}^T) 是 (r imes s) 矩阵，而 (A_{22}) 和 (B_{22}^T) 是 ((n-r) imes (n-s)) 矩阵，这样式 (1) 说的就是 (mathrm{nullity}(A_{11})=mathrm{nullity}(B_{22})).
这里的基本原则非常简单，假设 (A_{11}) 的零度（nullity） 为 (k). 如果 (k geqslant 1), 设 (Xin M_{s,k}(mathbf{F})) 的列是 (A_{11}) 的零空间的一组基，由于 (A) 非奇异，故而
egin{align}
Aegin{bmatrix} X \0 end{bmatrix}=egin{bmatrix}A_{11}X \ A_{21}X end{bmatrix}=egin{bmatrix} 0 \ A_{21}X end{bmatrix}
end{align}
是满秩的，所以 (A_{21}X) 有 (k) 个线性无关的列. 但是
egin{align}
egin{bmatrix}B_{12}(A_{21}X) \ B_{22} (A_{21}X) end{bmatrix}= A^{-1}egin{bmatrix} 0 \ A_{21}X end{bmatrix}=A^{-1}Aegin{bmatrix} X \0 end{bmatrix}=egin{bmatrix} X \0 end{bmatrix}
end{align}
所以 (B_{22}(A_{21}X)=0), 从而 (mathrm{nullity}(B_{22}) geqslant k=mathrm{nullity}(A_{11})), 此命题当 (k=0) 时平凡地成立. 从 (B_{22}) 出发用类似地推理可得 $mathrm{nullity}(A_{11})geqslant mathrm{nullity}(B_{22}) $.
当然，式 (1) 也告诉我们有 $mathrm{nullity}(A_{12}) =mathrm{nullity}(B_{12}) $, $mathrm{nullity}(A_{21}) =mathrm{nullity}(B_{21}) $, 以及 $mathrm{nullity}(A_{22}) =mathrm{nullity}(B_{11}) $. 如果 (r+s=n), 那么 (mathrm{rank}(A_{11})=mathrm{rank}(B_{22})) 且 (mathrm{rank}(A_{22})=mathrm{rank}(B_{11})), 而如果 (n=2r=2s), 由也有 (mathrm{rank}(A_{12})=mathrm{rank}(B_{12})) 以及 (mathrm{rank}(A_{21})=mathrm{rank}(B_{21})). 最后式 (2) 告诉我们，一个 (n imes n) 非奇异矩阵的 (r imes s) 子矩阵的秩至少为 (r+s-n).