将要学习
关于 Hermite 矩阵的特征值不等式. Weyl 定理 以及推论.
Weyl 定理
Hermann Weyl 的如下定理是大量不等式的基础，这些不等式要么涉及两个 Hermite 矩阵之和，要么与加边的 Hermite 矩阵有关.
定理1（Weyl）： 设 (A,B in M_n) 是 Hermite 矩阵，又设 (A,B) 以及 (A+B) 各自的特征值分别是 ({lambda_i(A)}_{i=1}^n, {lambda_i(B)}_{i=1}^n) 以及 ({lambda_i(A+B)}_{i=1}^n), 它们每一个都按照递增次序排列. 那么，对每一个 (i=1,cdots,n) 就有
egin{align} label{e1}
lambda_i(A+B) leqslant lambda_{i+j}(A) + lambda_{n-j} (B) , quad j=0,1,cdots, n-i
end{align}
其中的等式对某一对 (i,j) 成立，当且仅当存在一个非零向量 (x)，使得 (Ax=lambda_{i+j}(A)x), (Bx=lambda_{n-j}(B)x) 以及 ((A+B)x=lambda_i(A+B)x). 又对每一个 (i=1,cdots,n) 有
egin{align} label{e2}
lambda_{i-j+1}(A)+lambda_j(B) leqslant lambda_i(A+B), quad j=1,cdots ,i
end{align}
其中和等式对某一对 (i,j) 成立，当且仅当存在一个非零向量 (x)，使得 (Ax=lambda_{i-j+1}(A)x), (Bx=lambda_j(B)x) 以及 ((A+B)x=lambda_i(A+B)x). 如果 (B) 没有公共的特征向量，那么定理中的两个不等式都是严格不等式.
证明： 设 (x_1,cdots,x_n)，(y_1,cdots,y_n) 以及 (z_1,cdots,z_n) 分别是 (A)，(B) 以及 (A+B) 的标准正交的特征向量组，使得对每一个 (i=1,cdots,n) 都有 (Ax_i=lambda_i(A)x_i)，(By_i=lambda_i(B)y_i) 以及 ((A+B)z_i=lambda_i(A+B)z_i). 对给定的 (i in {1,cdots,n}) 以及任意的 (j in {0,cdots,n-i}), 设 (S_1 =mathrm{span} {x_1,cdots,x_{i+j}})，(S_2 =mathrm{span} {y_1,cdots,y_{n-j}})，(S_3 =mathrm{span} {z_i,cdots,z_n}). 那么
egin{align}
mathrm{dim}S_1 + mathrm{dim}S_2 + mathrm{dim}S_3 = (i+j) +(n-j) + (n-i+1) = 2n+1
end{align}
所以有子空间的交引理知，存在一个单位向量 (x in S_1 cap S_2 cap S_3). 借助Rayleigh 商定理三次就得到两个不等式
egin{align}
lambda_i(A+B) leqslant x^*(A+B)x = x^*Ax + x^*Bx leqslant lambda_{i+j}(A) + lambda_{n-j}(B)
end{align}
第一个不等式由 (x in S_3) 得出，而第二个不等式则分别由 (x in S_1) 以及 (x in S_3) 得出. (
ef{e1} ) 中关于等式成立情形的命题由 Rayleigh 商定理中单位向量 (x) 成立等式的情形以及下诸不等式推出：(x^*Ax leqslant lambda_{i+j}(A))，(x in S_1)；(x^*Bx leqslant lambda_{n-j}(B))，(x in S_2) 以及 $ lambda_i(A+B) leqslant x^*(A+B)x(，)x in S_3$.
不等式 (
ef{e2}) 以及它们的等式成立的情形可通过将 (
ef{e1}) 应用于 (-A，-B) 以及 (-(A+B)) 得出：
egin{align}
-lambda_{n-i+1}(A+B) =lambda_i(-A-B) leqslant lambda_{i+j}(-A) + lambda_{n-j}(-B) = -lambda_{n-i-j+1}(A) -lambda_{j+1}(B)
end{align}
如果我们令 (i'=n-i+1) 以及 (j'=j+1), 则上一个不等式就变成
egin{align}
lambda_{i'}(A+B) geqslant lambda_{i'-j'+1}(A) + lambda_{j'}(B), quad j'=1,cdots, i'
end{align}
这就是 (
ef{e2}).
如果 (A) 与 (B) 没有公共的特征向量，那么 (
ef{e1}) 和 (
ef{e2}) 中等式成立的必要条件就不可能满足.
Weyl 定理描述了一个 Hermite 矩阵 (A) 的特征值如果受到另一个 Hermite 矩阵 (B) 加性的扰动可能会发生什么. 关于扰动矩阵 (B) 的各种不同的条件会导致出现 (
ef{e1}) 和 (
ef{e2}) 的各种特例的不等式.
重要推论
接下来讲述的推论中，特征值仍是递增排序. 下面给个小例子，以便引出推论. 设 (B in M_n) 是 Hermite 矩阵. 如果 (B) 恰好有 (pi) 个正的特征值，而且恰好有 (
u) 个负特征值，则 (lambda_{n-pi}(B) leqslant 0) 以及 (lambda_{
u+1}(B) geqslant 0), 其中的等式当且仅当 (n>pi +
u), 也即当且仅当 (B) 是奇异矩阵时成立.
推论1： 设 (A,Bin M_n) 是 Hermite 矩阵. 如果 (B) 恰好有 (pi) 个正的特征值，而且恰好有 (
u) 个负的特征值，那么
egin{align} label{e11}
lambda_i(A+B) leqslant lambda_{i+pi}(A),quad i=1,cdots,n-pi
end{align}
其中等式对某个 (i) 成立，当且仅当 (B) 是奇异的且存在非零向量 (x), 使得 (Ax=lambda_{i+pi}(A) x)，(Bx=0) 以及 ((A+B)x=lambda _i(A+B)x). 我们还有
egin{align} label{e12}
lambda_{i-
u}(A) leqslant lambda_i(A+B),quad i=
u +1,cdots, n
end{align}
其中等式对某个 (i) 成立，当且仅当 (B) 是奇异的且存在一个非零向量 (x), 使得 (Ax=lambda_{i-
u}(A) x)，(Bx=0) 以及 ((A+B)x=lambda _i(A+B)x). 如果 (
ef{e11}) 中 (B) 是非奇异的或者式 (
ef{e12}) 中对 (A) 的每一个特征向量都有 (Bx
eq 0), 则上述两个不等式都是严格不等式.
对上述推论，再举个特例，设 (B in M_n) 是 Hermite 矩阵. 如果 (B) 是奇异的，且 (mathrm{rank}\,B=r)，由于 (B) 是 Hermite 矩阵，则其可以酉对角化，所以 (B) 的非零特征值的个数肯定等于 (r), 则 (lambda_{n-r} (B) leqslant 0) 以及 (lambda_{r+1} geqslant 0)（在上个推论中令 (A=0) 也可得到同样的结果.）
推论2： 设 (A,Bin M_n) 是 Hermite 矩阵. 假设 (B) 是奇异的，且 (mathrm{rank}\,B=r)，那么
egin{align} label{e13}
lambda_i(A+B) leqslant lambda_{i+r}(A),quad i=1,cdots,n-r
end{align}
其中等式对某个 (i) 成立，当且仅当 (lambda_{n-r}(B) = 0)，且存在一个非零向量 (x)，使得 (Ax=lambda_{i+r}(A)x)，(Bx=0) 以及 ((A+B)x=lambda_i(A+B)x). 又有
egin{align} label{e14}
lambda_{i-r}(A) leqslant lambda_i(A+B),quad i=r+1,cdots,n
end{align}
其中等式对某个 (i) 成立，当且仅当 (lambda_{i+1}(B)=0)，且存在一个非零向量 (x)，使得 (Ax=lambda_{i-r}(A)x)，(Bx=0) 以及 ((A+B)x=lambda _i(A+B)x). 如果 (A) 的每个特征向量 (x) 都有 (Bx
eq 0), 则上述两个不等式都是严格不等式.
设 (B in M_n) 是 Hermite 矩阵. 如果 (B) 恰有一个正的特征值且恰有一个负的特征值，则 (lambda_2(B) geqslant 0) 且 (lambda_{n-1}(B) leqslant 0)，其中的等式当且仅当 (n>2) 时成立.
推论3： 设 (A,Bin M_n) 是 Hermite 矩阵. 假设 (B) 恰有一个正的特征值且恰有一个负的特征值，那么
egin{align}
& lambda_1(A+B) leqslant lambda_2(A)
otag \ label{e8}
& lambda_{i-1}(A) leqslant lambda_i(A+B) leqslant lambda_{i+1}(A), quad i=2,cdots, n-1 \
& lambda_{n-1}(A) leqslant lambda_n(A+B)
otag
end{align}
等式对 (pi =
u =1) 成立，例如， (lambda_i(A+B) = lambda_{i+1}(A)) 当且仅当 (n>2) 且存在一个非零向量 (x)，使得 (Ax=lambda_{i+1}(A)x)，(Bx=0) 以及 ((A+B)x=lambda_i(A+B)x) 时成立. 如果 (n=2) 或者对 (A) 的每个特征向量 (x) 有 (Bx
eq 0)，那么上述三个不等式都是严格的不等式.
假设 (z in mathbb{C}^n) 是非零的且 (n geqslant 2). 则 (zz^*) 的秩为 (1) 且只有一个正的特征值，所以 (lambda_{n-1}(zz^*)=0=lambda_1(zz^*)).
下面的推论称为关于 Hermite 矩阵的秩 (1)-Hermite 摄动的交错定理.
推论4：设 (n geqslant 2)，(A in M_n) 是 Hermite 矩阵，又设 (z in mathbb{C}^n) 是非零向量. 那么
egin{align}
& lambda_i(A) leqslant lambda_i(A+zz^*) leqslant lambda_{i+1}(A),quad i=1,cdots,n-1 \
& lambda_n(A) leqslant lambda_n (A+zz^*)
otag
end{align}
上式中的等式对 (pi=1) 以及 (
u =0) 成立，例如，(lambda_i(A+zz^*) = lambda_{i+1}(A)) 当且仅当存在一个非零向量 (x)，使得 (Ax=lambda_{i+1}(A)x)，(z^*x=0) 以及 ((A+zz^*)x=lambda_i(A+zz^*)x). 又有
egin{align}
& lambda_1(A-zz^*) leqslant lambda_1(A) \
& lambda_{i-1}(A) leqslant lambda_i (A-zz^*) leqslant lambda_i(A),quad i=2,cdots,n
otag
end{align}
上式中的等式对 (pi=0) 以及 (
u =1) 成立. 如果 (A) 没有特征向量与 (z) 正交，那么上边每一个不等式都是严格的不等式.
设 (B in M_n) 是半正定的，则 (lambda_1(B)=0) 当且仅当 (B) 是奇异的.
下面的推论称为单调定理.
推论5：设 (A,B in M_n) 是 Hermite 矩阵，并假设 (B) 是半正定的. 那么
egin{align}
lambda_i(A) leqslant lambda_i(A+B),quad i=1,cdots,n
end{align}
其中等式对某个 (i) 成立，当且仅当 (B) 是奇异的，且存在一个非零向量 (x)，使得 (Ax=lambda_i(A)x)，(Bx=0) 以及 ((A+B)x=lambda_i(A+B)x). 又如果 (B) 是正定的，那么
egin{align}
lambda_i(A) < lambda_i(A+B),quad i=1,cdots,n
end{align}
设给定 (y in mathbb{C}^n) 以及 (a in mathbb{R})，又设 (mathcal{K} = egin{bmatrix} 0_n & y \ y^* & a end{bmatrix} in M_{n+1}). 由加边矩阵的行列式的 Cauchy 展开式 (mathrm{det} egin{bmatrix} A & x \ y^T & a end{bmatrix} =a\,mathrm{det} \,A -y^T(mathrm{adj}\,A)x) 得：(mathcal{K}) 的特征值是 ((a pm sqrt{a^2+4y^*y})/2) 再加上 (n-1) 个为零的特征值. 如果 (y
eq 0)，推出结论：(mathcal{K}) 恰好有一个正的特征值，也恰好有一个负的特征值.
Weyl 不等式以及它们的推论考虑的是 Hermite 矩阵的加性 Hermite 摄动. 从 Hermite 矩阵中取出一个主子矩阵，或者通过对它加边作成一个更大的 Hermite 矩阵，都会出现加性的特征值不等式. 下面的结果是关于加边的 Hermite 矩阵的 Cauchy 交错定理，有时它也称为分离定理.
定理2（Cauchy）： 设 (B in M_n) 是 Hermite 矩阵，设给定 (y in mathbb{C}^n) 以及 (a in mathbb{R})，又设 (A = egin{bmatrix} B & y \ y^* & a end{bmatrix} in M_{n+1}). 那么
egin{align} label{e18}
lambda_1(A) leqslant lambda_1(B) leqslant lambda_2(A) leqslant cdots leqslant lambda_n(A) leqslant lambda_n(B) leqslant lambda_{n+1}(A)
end{align}
其中 (lambda_i(A)=lambda_i(B)) 成立的充分必要条件是：存在一个非零的 (z in mathbb{C}^n)，使得 (Bz=lambda_i(B)z)，(y^*z=0)，以及 (Bz=lambda_i(A)z)；(lambda_i(B)=lambda_{i+1}(A)) 成立的充分必要条件是：存在一个非零的 (z in mathbb{C}^n)，使得 (Bz=lambda_i(B)z)，(y^*z=0)，以及 (Bz=lambda_{i+1}(A)z). 如果 (B) 没有与 (y) 正交的特征向量，则上式中的每一个不等式都是严格不等式.
证明： 如果我们用 (A+mu I_{n+1}) 代替 (A)（这就用 (B+mu I) 代替了 (B)），那么结论中有序排列中的特征值的交错性不变. 于是，不失一般性，可以假设 (B) 与 (A) 是正定的. 考虑 Hermite 矩阵 $mathcal{H} =egin{bmatrix} B & 0 \ 0 & 0_1 end{bmatrix} $ 以及 $mathcal{K}= egin{bmatrix} 0_n & y \ y^* & a end{bmatrix} $，对它们有 (A=mathcal{H}+mathcal{K}). (mathcal{H}=Boplus [0]) 的有序排列的特征值是 (lambda_1(mathcal{H})=0 < lambda_1(B)=lambda_2(mathcal{H}) leqslant lambda_2(B) = lambda_3(mathcal{H}) leqslant cdots)，即对所有 (i=1,cdots,n) 都有 (lambda_{i+1}(mathcal{H}) = lambda_i(B)). 由于 $mathcal{K} $ 恰好有一个正的特征值和一个负的特征值，故而不等式 (
ef{e8}) 确保
egin{align} label{e19}
lambda_i(A) = lambda_{i}(mathcal{H} + mathcal{K}) leqslant lambda_{i+1}(mathcal{H}) = lambda_i(B), quad i=1,cdots,n
end{align}
对一个给定的 (i)，(
ef{e19}) 中等式成立的必要与充分条件表述在推论 3 中：存在一个非零的 (x in mathbb{C}^{n+1})，使得 (mathcal{H}x = lambda_{i+1}(mathcal{H})x)，(mathcal{K}x=0)，(Ax=lambda_i(A)x). 如果我们用 (z in mathbb{C}^n) 来分划 $x= egin{bmatrix} z \ xi end{bmatrix} $ 并利用恒等式 (lambda_{i+1}(mathcal{H}) = lambda_i(B))，计算揭示这些条件对于以下结论是等价的：存在一个非零的 (z in mathbb{C}^n)，使得 (Bz=lambda_i(B)z)，(y^*z=0)，以及 (Bz=lambda_i(A)z). 特别地，如果 (B) 没有与 (y) 正交的特征向量，那么就不存在 (i)，使得必要条件 (z
eq 0)，(Bz=lambda_i(B)z) 以及 (y^*z=0) 能得到满足.
对 (i=1,cdots,n)，不等式 (lambda_i(B) leqslant lambda_{i+1}(A)) 可以通过将 (
ef{e19}) 应用于 (-A) 得到：
egin{align} label{e20}
-lambda_{(n+1)-i+1}(A) = lambda_i(-A) leqslant lambda_i(-B) = -lambda_{n-i+1}(B)
end{align}
如果置 (i'=n-i+1)，我们就对 (i'=1,cdots,n) 得到等价的不等式 (lambda_{i'+1}(A) geqslant lambda_{i'}(B)). (
ef{e20}) 中等式出现的情形再次由推论 3 得出.
我们已经讨论了特征值交错定理的两个例子：如果一个给定的 Hermite 矩阵或者通过增加一个秩 1 的 Hermite 矩阵或者通过加边来加以修改，那么新旧特征值必定是交错的. 下面不加证明的给出这些定理的逆.
定理3： 设 (lambda_1,cdots, lambda_n) 以及 (mu_1,cdots, mu_n) 是满足交错不等式
egin{align}
lambda_1 leqslant mu_1 leqslant lambda_2 leqslant mu_2 leqslant cdots leqslant lambda_n leqslant mu_n
end{align}
的实数. 设 (Lambda= mathrm{diag} {lambda_1,cdots, lambda_n}). 那么存在一个实向量 (z in mathbb{R}^n)， 使得 (Lambda+zz^*) 的特征值是 (mu_1,cdots,mu_n).
应该知道什么
- Weyl 定理：$lambda_i(A+B) leqslant lambda_{i+j}(A) + lambda_{n-j} (B) $ 与 (lambda_{i-j+1}(A)+lambda_j(B) leqslant lambda_i(A+B))
- Hermite 矩阵非零特征值的个数等于其秩的大小
- 假设 (z in mathbb{C}^n) 是非零的且 (n geqslant 2). 则 (zz^*) 的秩为 (1) 且只有一个正的特征值
- 如果一个给定的 Hermite 矩阵或者通过增加一个秩 1 的 Hermite 矩阵或者通过加边来加以修改，那么新旧特征值必定是交错的.