将要学习到什么
尽管范数的所有公理对于一个有用的关于矩阵“大小”的概念是必须的，对某些重要的应用来说，矩阵范数的次积性公理并非是必要的. 例如，Gelfand 公式并不要求次积性，而且它对向量范数甚至对准范数都是成立的. 在这一节里，我们要讨论矩阵上的向量范数，即在向量空间 (M_n) 上不一定有次积性的范数. 我们用 (G(cdot)) 表示 (M_n) 上一个通用的向量范数，并首先讨论 (M_n) 上某些范数的例子， 这些范数或许是矩阵范数，或许不是.
一些例子
例 1： 如果 (G(cdot)) 是 (M_n) 上一个范数，且如果 (S,T in M_n) 是非奇异的，那么
egin{align}
G_{S,T}(A) = G(SAT), quad A in M_n
end{align}
是 (M_n) 上一个范数，即使 (G(cdot)) 是矩阵范数，(G_{S,T}(cdot)) 也不一定是次积性的，除非 (T=S^{-1}).
我们来对上例作进一步说明：由于 (G(cdot)) 是矩阵范数，所以 (G_{S,T}(cdot)) 肯定满足非负性、正性、齐次性以及三角不等式的，所以 (G_{S,T}(cdot)) 总是 (M_n) 上的范数. 不妨取 (S=T=dfrac{1}{2}I)，而 (G(cdot)=nlVert cdot
Vert_{infty})，则可以验证 (G_{S,T}(cdot)) 不一定满足次积性.
例 2： 两个同样大小的矩阵 (A=[a_{ij}]) 与 (B=[b_{ij}]) 的 Hadamard 乘积是它们逐个元素的乘积 (Acirc B=[a_{ij}b_{ij}]). 如果 (H in M_n) 没有为零的元素，又如果 (G(cdot)) 是 (M_n) 上任意一个范数，那么
egin{align} label{e2}
G_H(A) = G(Hcirc A), quad H in M_n,\,\,lvert H
vert >0
end{align}
就是 (M_n) 上一个范数. 即便 (G(cdot)) 是矩阵范数，(G_H(cdot)) 也不一定是次积性的.
式
ef{e2} 中的 (G_H(cdot)) 可能是也可能不是矩阵范数，这要视 (H) 如何选取而定. 考虑矩阵范数 (G(cdot)=lVert cdot
Vert_1)，矩阵
egin{align}
H_1=egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 end{bmatrix} quad ext{或} quad H_2=egin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 end{bmatrix}
end{align}
以及
egin{align} label{e4}
A=egin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{bmatrix} , quad B=egin{bmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 end{bmatrix} quad ext{以及} quad AB
end{align}
注意，对所有 (C in M_2) 有 (G_{H_1}(C) leqslant G_{H_2}(C))
例 3： 由
egin{align}
G_Cleft(egin{bmatrix} 1 & b \ c & d end{bmatrix}
ight) = dfrac{1}{2}[lvert a+d
vert + lvert a-d
vert +lvert b
vert + lvert c
vert]
end{align}
定义的函数 (G_C(cdot)) 是 (M_2) 上的范数，但不是矩阵范数.（考虑矩阵
ef{e4}）
例 4： 如果 (A in M_n)，那么集合 (F(A)={x^*Ax：xin mathbb{C}^n \, ext{且}\, x^*x=1}) 是 (A) 的值域或者取值范围，而函数
egin{align}
r(A)=maxlimits_{lVert x
Vert_2=1} lvert x^*Ax
vert = max { lvert z
vert ：zin F(A)}
end{align}
就是 (A) 的数值半径. (r(cdot)) 是 (M_n) 上一个范数，但不是矩阵范数.
例 5： (M_n) 上的 (l_{infty}) 范数是
egin{align}
lVert A
Vert_{infty}=maxlimits_{1leqslant i,j leqslant n} lvert a_{ij}
vert
end{align}
是 (M_n) 是的一个范数，但不是矩阵范数. 然而 (nlVert A
Vert_{infty}) 是矩阵范数.
上一个例子说明：(M_n) 上有许多并非矩阵范数的范数. 这些范数中有一些具有矩阵范数的由次积性推出的某些性质，而有一些则不具有这些性质. 但是 (M_n) 上每一个范数都与任何一个矩阵范数等价（在它们有同样的收敛序列这个意义下）.
重要定理
定理 4 有更一般的结果.
定理 1： 设 (f) 是 (M_n) 上的准范数，即是 (M_n) 上一个正的、齐次且连续的实值函数，
(a) 正的：对所有 (x in V) 有 (f_i(x) geqslant 0)，又设 (f_i(x) = 0) 当且仅当 (x=0)
(b) 齐性的：对所有 (alpha in mathbf{F}) 以及所有 (x in V) 有 (f_i(alpha x) =lvert alpha
vert f_i(x))
(c) 连续的：(f_1(x(z))) 在 (mathbf{F}^n) 上关于 Euclid 范数是连续的
又设 (lVert cdot
Vert) 是 (M_n) 上一个矩阵范数. 那么就存在有限的正常数 (C_m) 以及 (C_M)，使得对所有 (A in M_n) 都有
egin{align}label{e9}
C_mlVert A
Vert leqslant f(A) leqslant C_MlVert A
Vert
end{align}
特别地，如果 (f(cdot)) 是 (M_n) 上一个向量范数，则这些不等式成立.
界限
ef{e9} 在将有关矩阵范数的结论推广到矩阵上的向量范数时，或者更一般地，推广到矩阵上的准范数时常常是有用的. 例如按照这种方式 Gelfand 公式得以推广.
定理 2：如果 (f) 是 (M_n) 上一个准范数，特别地，如果它是一个向量范数，那么对所有 (Ain M_n) 都有 (limlimits_{k
ightarrow infty} [f(A^k)]^{1/k}=
ho(A)).
证明：设 (lVert cdot
Vert) 是 (M_n) 上一个矩阵范数并考虑不等式
ef{e9}，此不等式蕴含对所有 (k=1,2,3,cdots) 都有
egin{align}
C_m^{1/k}lVert A^k
Vert^{1/k} leqslant [f(A^k)]^{1/k} leqslant C_M^{1/k}lVert A^k
Vert^{1/k}
end{align}
但是 (C_m^{1/k}
ightarrow 1)， (C_M^{1/k}
ightarrow 1)，且当 (k
ightarrow infty) 时有 (lVert A^k
Vert^{1/k}
ightarrow
ho(A))，故而我们断定 (limlimits_{k
ightarrow infty} [f(A^k)]^{1/k}) 存在且有结论中的值.
例 5 展现了第二种含义，按照这种含义，(M_n) 上的任何范数都等价于一个矩阵范数. 范数 (lVert cdot
Vert_{infty}) 的一个正的纯量倍数是一个矩阵范数. 这并不意外：(M_n) 上的每个范数在乘了一个适当的正整数之后都变成了矩阵范数. 这个基本结果是范数函数的连续性以及单位球面的紧性的一个推论.
定理 3： 设 (G(cdot)) 是 (M_n) 上一个向量范数，又设
egin{align}
c(G)=maxlimits_{G(A)=1=G(B)} G(AB)
end{align}
对一个正的实纯量 (gamma)，(gamma G(cdot)) 是 (M_n) 上一个矩阵范数的充分必要条件是 (gamma geqslant c(G)). 如果 (lVert cdot
Vert) 是 (M_n) 上一个矩阵范数，而 (C_n) 与 (C_M) 是满足
egin{align}
C_mlVert A
Vert leqslant G(A) leqslant C_MlVert A
Vert, quad ext{对所有}\,\,Ain M_n
end{align}
的正常数，又如果我们令 (gamma_0=c_M / C_m^2)，那么 (gamma_0G(cdot)) 就是一个矩阵范数，从而有 (gamma_0 geqslant c(G)).
矩阵范数 (lVert cdot
Vert) 的一个重要性质是：它是谱占优的，即对每一个 (A in M_n) 都有 (lVert A
Vert geqslant
ho(A)). 值得一提的是，(M_n) 上的向量范数即使不是次积性的，也可能是谱占优的. 现在我们还研究这种情况何时可能发生.
相容
定义 4： (mathbb{C}^n) 上的范数 (lVert cdot
Vert) 以及 (M_n) 上的向量范数 (G(cdot)) 称为相容的，如果对所有 (x in mathbb{C}^n) 以及所有 (A in M_n) 都有 (lVert Ax
Vert leqslant G(A) lVert x
Vert). 有时也用术语相容的，有时也称范数 (lVert cdot
Vert) 从属于范数 (G(cdot)).
定理 5：如果 (lVert cdot
Vert) 是 (M_n) 上一个矩阵范数，那么就存在 (mathbb{C}^n) 上一个与之相容的范数. 如果 (lVert cdot
Vert) 是 (mathbb{C}^n) 上的一个范数，那么就存在 (M_n) 上一个与之相容的矩阵范数.
证明：对任何非零的向量 (z)，定义范数 (lVert x
Vert _z = lVert xz^*
Vert)，对任意 (x in mathbb{C}^n)，则其与给定的矩阵范数 (lVert cdot
Vert) 是相容的：(lVert Ax
Vert _z = lVert Axz^*
Vert leqslant lVert A
Vert lVert xz^*
Vert = lVert A
Vert lVert x
Vert _z). (mathbb{C}^n) 上任意给定的范数与它所诱导的 (M_n) 上的矩阵范数都是相容的（定理 2b）.
定理 6：设 (G(cdot)) 是 (M_n) 上一个范数，它与 (mathbb{C}^n) 上一个范数 (lVert cdot
Vert) 相容. 那么
egin{align} label{e15}
G(A_1)cdots G(A_k) geqslant
ho(A_1cdots A_k), quad ext{对所有}\,\,A_1,cdots,A_k in M_n,\,\,k=1,2,cdots
end{align}
特别地，(G(A)) 是谱占优的.
证明：考虑 (k=2) 的情形，并设 (x in mathbb{C}^n) 是一个非零向量，它使得 (A_1A_2x =lambda x)，其中 (lvert lambda
vert =
ho(A_1A_2)). 那么
egin{align}
ho(A_1A_2) lVert x
Vert &= lVert lambda x
Vert = lVert A_1A_2 x
Vert = lVert A_1(A_2 x)
Vert
otag \
& leqslant G(A_1) lVert A_2 x
Vert leqslant G(A_1) G(A_2)lVert x
Vert
otag
end{align}
由于 (lVert x
Vert
eq 0)，我们断言 (
ho(A_1A_2) lVert x
Vert leqslant G(A_1) G(A_2)). 一般情形由归纳法得出.
(M_n) 上哪一个向量范数与 (mathbb{C}^n) 上某个范数相容的？条件
ef{e15} 是必要的. 为了证明它也是充分的，我们需要一个技术性的引理.
引理 7： 设 (G(cdot)) 是 (M_n) 上一个满足条件
ef{e15} 向量范数. 则存在一个有限的正常数 (gamma(G))，使得对所有 (A_1,A_2,cdots,A_k in M_n) 以及所有 (k=1,2,cdots) 都有
egin{align}
G(A_1)cdots G(A_k) geqslant gamma(G) lVert A_1cdots A_k)
Vert_2
end{align}
证明： 设 (k) 是一个给定的正整数，给定 (A_1,A_2,cdots,A_k in M_n)，又设 (A_1cdots A_k=VSigma W^*) 是奇异值分解. 假设条件允许我们利用
ef{e15} 计算
egin{align}
G(V^*)G(A_1)cdots G(A_k)G(W)&geqslant
ho(V^*A_1cdots A_kW)=
ho(Sigma)= lVert Sigma
Vert_2
otag \
&= lVert V^*A_1cdots A_kW
Vert_2 = lVert A_1cdots A_k
Vert_2
otag
end{align}
最后一个等式是由这个谱范数的酉不变性得出. 由于 (G(cdot)) 是在酉矩阵组成的紧集上的一个连续函数，(mu(G)=max {G(U)：U in M_n \,\, ext{是酉矩阵}}) 是一个有限的正数. 我们断定有
egin{align}
G(A_1)cdots G(A_k) &geqslant frac{1}{G(V^*)G(W)} lVert A_1cdots A_k)
Vert_2
otag \
& geqslant mu(G)^{-2}lVert A_1cdots A_k)
Vert_2
otag
end{align}
定理 8： (M_n) 上一个向量范数 (G(cdot)) 与 (mathbb{C}^n) 上某个范数相容，当且仅当它满足不等式
ef{e15}.
证明： 定理 6 已经证明了其中的一个蕴含关系. 为证明另一个蕴含关系，我们认为只要证明存在 (M_n) 上一个矩阵范数 (Vert cdot
Vert)，使得对所有 (A in M_n) 都有 (G(A) geqslant lVert A
Vert) 即可. 如果这样的矩阵范数存在，设 (Vert cdot
Vert) 是 (mathbb{C}^n) 上一个与之相容的范数，并设给定 (x in mathbb{C}^n) 以及 (A in M_n). 那么 (Vert Ax
Vert leqslant Vert A
Vert Vert x
Vert leqslant G(A) Vert x
Vert)，所以范数 (Vert cdot
Vert) 也是与 (G(cdot)) 相容的. 对于给定的 (A in M_n)，有多种方法将它表示成矩阵的乘积或者矩阵乘积之和. 定义
egin{align}
lVert A
Vert = inf left{ sum_i G(A_{i1} cdots sum_i G(A_{ik_i} ) ： sum_i A_{i1}cdots A_{ik_i}=A,\,\, ext{每一个}\,\,A_{ij} in M_n
ight}
end{align}
函数 (Vert cdot
Vert) 是非负齐次的. 它是取正值的吗？如果 (sum_i A_{i1}cdots A_{ik_i}=A
eq 0)，那么引理 7 以及关于谱范数的三角不等式确保有
egin{align}
sum_i G(A_{i1} cdots sum_i G(A_{ik_i} ) & geqslant sum_i gamma(G) lVert A_{i1}cdots A_{ik_i})
Vert_2
otag \
& geqslant gamma(G)lVert sum_i A_{i1}cdots A_{ik_i})
Vert_2 = gamma(G) lVert A
Vert _2 >0
otag
end{align}
所以 (Vert cdot
Vert) 是正的. 关于 (Vert cdot
Vert) 的三角不等式以及次积性由它作为乘积之和的下确界这一定义得出.
我们已经看到，(M_n) 上某些向量范数在 (mathbb{C}^n) 上有相容的范数，而有一些则没有. 那些有相容范数的是谱占优的；而那些没有相容范数的有可能是谱占优的，也有可能不是谱占优的. 我们有必要与充分的条件还判断 (M_n) 上一个向量范数在 (mathbb{C}^n) 上 是否有某个相容的范数. 什么时候 (mathbb{C}^n) 上的范数与 (M_n) 上非次积性的范数相容呢？结论是永远如此.
定理 9： (mathbb{C}^n) 上每一个范数与 (M_n) 上一个非矩阵范数的向量范数相容.
应该知道什么
- (M_n) 上有许多并非矩阵范数的范数，但是 (M_n) 上每一个范数都与任何一个矩阵范数等价