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  • 矩阵上的向量范数

    将要学习到什么

    尽管范数的所有公理对于一个有用的关于矩阵“大小”的概念是必须的,对某些重要的应用来说,矩阵范数的次积性公理并非是必要的. 例如,Gelfand 公式并不要求次积性,而且它对向量范数甚至对准范数都是成立的. 在这一节里,我们要讨论矩阵上的向量范数,即在向量空间 (M_n) 上不一定有次积性的范数. 我们用 (G(cdot)) 表示 (M_n) 上一个通用的向量范数,并首先讨论 (M_n) 上某些范数的例子, 这些范数或许是矩阵范数,或许不是.


    一些例子

    例 1: 如果 (G(cdot))(M_n) 上一个范数,且如果 (S,T in M_n) 是非奇异的,那么
    egin{align}
    G_{S,T}(A) = G(SAT), quad A in M_n
    end{align}
    (M_n) 上一个范数,即使 (G(cdot)) 是矩阵范数,(G_{S,T}(cdot)) 也不一定是次积性的,除非 (T=S^{-1}).
     
    我们来对上例作进一步说明:由于 (G(cdot)) 是矩阵范数,所以 (G_{S,T}(cdot)) 肯定满足非负性、正性、齐次性以及三角不等式的,所以 (G_{S,T}(cdot)) 总是 (M_n) 上的范数. 不妨取 (S=T=dfrac{1}{2}I),而 (G(cdot)=nlVert cdot Vert_{infty}),则可以验证 (G_{S,T}(cdot)) 不一定满足次积性.
     
    例 2: 两个同样大小的矩阵 (A=[a_{ij}])(B=[b_{ij}])Hadamard 乘积是它们逐个元素的乘积 (Acirc B=[a_{ij}b_{ij}]). 如果 (H in M_n) 没有为零的元素,又如果 (G(cdot))(M_n) 上任意一个范数,那么
    egin{align} label{e2}
    G_H(A) = G(Hcirc A), quad H in M_n,\,\,lvert H vert >0
    end{align}
    就是 (M_n) 上一个范数. 即便 (G(cdot)) 是矩阵范数,(G_H(cdot)) 也不一定是次积性的.
     
    式 ef{e2} 中的 (G_H(cdot)) 可能是也可能不是矩阵范数,这要视 (H) 如何选取而定. 考虑矩阵范数 (G(cdot)=lVert cdot Vert_1),矩阵
    egin{align}
    H_1=egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 end{bmatrix} quad ext{或} quad H_2=egin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 end{bmatrix}
    end{align}
    以及
    egin{align} label{e4}
    A=egin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{bmatrix} , quad B=egin{bmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 end{bmatrix} quad ext{以及} quad AB
    end{align}
    注意,对所有 (C in M_2)(G_{H_1}(C) leqslant G_{H_2}(C))
     
    例 3:
    egin{align}
    G_Cleft(egin{bmatrix} 1 & b \ c & d end{bmatrix} ight) = dfrac{1}{2}[lvert a+d vert + lvert a-d vert +lvert b vert + lvert c vert]
    end{align}
    定义的函数 (G_C(cdot))(M_2) 上的范数,但不是矩阵范数.(考虑矩阵 ef{e4})
     
    例 4: 如果 (A in M_n),那么集合 (F(A)={x^*Ax:xin mathbb{C}^n \, ext{且}\, x^*x=1})(A)值域或者取值范围,而函数
    egin{align}
    r(A)=maxlimits_{lVert x Vert_2=1} lvert x^*Ax vert = max { lvert z vert :zin F(A)}
    end{align}
    就是 (A)数值半径. (r(cdot))(M_n) 上一个范数,但不是矩阵范数.
     
    例 5: (M_n) 上的 (l_{infty}) 范数是
    egin{align}
    lVert A Vert_{infty}=maxlimits_{1leqslant i,j leqslant n} lvert a_{ij} vert
    end{align}
    (M_n) 是的一个范数,但不是矩阵范数. 然而 (nlVert A Vert_{infty}) 是矩阵范数.
     
    上一个例子说明:(M_n) 上有许多并非矩阵范数的范数. 这些范数中有一些具有矩阵范数的由次积性推出的某些性质,而有一些则不具有这些性质. 但是 (M_n) 上每一个范数都与任何一个矩阵范数等价(在它们有同样的收敛序列这个意义下).
     

    重要定理

     
    定理 4 有更一般的结果.
     
      定理 1:(f)(M_n) 上的准范数,即是 (M_n) 上一个正的、齐次且连续的实值函数,
      (a) 正的:对所有 (x in V)(f_i(x) geqslant 0),又设 (f_i(x) = 0) 当且仅当 (x=0)
      (b) 齐性的:对所有 (alpha in mathbf{F}) 以及所有 (x in V)(f_i(alpha x) =lvert alpha vert f_i(x))
      (c) 连续的:(f_1(x(z)))(mathbf{F}^n) 上关于 Euclid 范数是连续的
    又设 (lVert cdot Vert)(M_n) 上一个矩阵范数. 那么就存在有限的正常数 (C_m) 以及 (C_M),使得对所有 (A in M_n) 都有
    egin{align}label{e9}
    C_mlVert A Vert leqslant f(A) leqslant C_MlVert A Vert
    end{align}
    特别地,如果 (f(cdot))(M_n) 上一个向量范数,则这些不等式成立.
     
    界限 ef{e9} 在将有关矩阵范数的结论推广到矩阵上的向量范数时,或者更一般地,推广到矩阵上的准范数时常常是有用的. 例如按照这种方式 Gelfand 公式得以推广.
     
      定理 2:如果 (f)(M_n) 上一个准范数,特别地,如果它是一个向量范数,那么对所有 (Ain M_n) 都有 (limlimits_{k ightarrow infty} [f(A^k)]^{1/k}= ho(A)).
     
      证明:(lVert cdot Vert)(M_n) 上一个矩阵范数并考虑不等式 ef{e9},此不等式蕴含对所有 (k=1,2,3,cdots) 都有
    egin{align}
    C_m^{1/k}lVert A^k Vert^{1/k} leqslant [f(A^k)]^{1/k} leqslant C_M^{1/k}lVert A^k Vert^{1/k}
    end{align}
    但是 (C_m^{1/k} ightarrow 1)(C_M^{1/k} ightarrow 1),且当 (k ightarrow infty) 时有 (lVert A^k Vert^{1/k} ightarrow ho(A)),故而我们断定 (limlimits_{k ightarrow infty} [f(A^k)]^{1/k}) 存在且有结论中的值.
     
    例 5 展现了第二种含义,按照这种含义,(M_n) 上的任何范数都等价于一个矩阵范数. 范数 (lVert cdot Vert_{infty}) 的一个正的纯量倍数是一个矩阵范数. 这并不意外:(M_n) 上的每个范数在乘了一个适当的正整数之后都变成了矩阵范数. 这个基本结果是范数函数的连续性以及单位球面的紧性的一个推论.
     
      定理 3:(G(cdot))(M_n) 上一个向量范数,又设
    egin{align}
    c(G)=maxlimits_{G(A)=1=G(B)} G(AB)
    end{align}
    对一个正的实纯量 (gamma)(gamma G(cdot))(M_n) 上一个矩阵范数的充分必要条件是 (gamma geqslant c(G)). 如果 (lVert cdot Vert)(M_n) 上一个矩阵范数,而 (C_n)(C_M) 是满足
    egin{align}
    C_mlVert A Vert leqslant G(A) leqslant C_MlVert A Vert, quad ext{对所有}\,\,Ain M_n
    end{align}
    的正常数,又如果我们令 (gamma_0=c_M / C_m^2),那么 (gamma_0G(cdot)) 就是一个矩阵范数,从而有 (gamma_0 geqslant c(G)).
     
    矩阵范数 (lVert cdot Vert) 的一个重要性质是:它是谱占优的,即对每一个 (A in M_n) 都有 (lVert A Vert geqslant ho(A)). 值得一提的是,(M_n) 上的向量范数即使不是次积性的,也可能是谱占优的. 现在我们还研究这种情况何时可能发生.
     

    相容

     
      定义 4: (mathbb{C}^n) 上的范数 (lVert cdot Vert) 以及 (M_n) 上的向量范数 (G(cdot)) 称为相容的,如果对所有 (x in mathbb{C}^n) 以及所有 (A in M_n) 都有 (lVert Ax Vert leqslant G(A) lVert x Vert). 有时也用术语相容的,有时也称范数 (lVert cdot Vert) 从属于范数 (G(cdot)).
     
      定理 5:如果 (lVert cdot Vert)(M_n) 上一个矩阵范数,那么就存在 (mathbb{C}^n) 上一个与之相容的范数. 如果 (lVert cdot Vert)(mathbb{C}^n) 上的一个范数,那么就存在 (M_n) 上一个与之相容的矩阵范数.
     
      证明:对任何非零的向量 (z),定义范数 (lVert x Vert _z = lVert xz^* Vert),对任意 (x in mathbb{C}^n),则其与给定的矩阵范数 (lVert cdot Vert) 是相容的:(lVert Ax Vert _z = lVert Axz^* Vert leqslant lVert A Vert lVert xz^* Vert = lVert A Vert lVert x Vert _z). (mathbb{C}^n) 上任意给定的范数与它所诱导的 (M_n) 上的矩阵范数都是相容的(定理 2b).
     
      定理 6:(G(cdot))(M_n) 上一个范数,它与 (mathbb{C}^n) 上一个范数 (lVert cdot Vert) 相容. 那么
    egin{align} label{e15}
    G(A_1)cdots G(A_k) geqslant ho(A_1cdots A_k), quad ext{对所有}\,\,A_1,cdots,A_k in M_n,\,\,k=1,2,cdots
    end{align}
    特别地,(G(A)) 是谱占优的.
     
      证明:考虑 (k=2) 的情形,并设 (x in mathbb{C}^n) 是一个非零向量,它使得 (A_1A_2x =lambda x),其中 (lvert lambda vert = ho(A_1A_2)). 那么
    egin{align}
    ho(A_1A_2) lVert x Vert &= lVert lambda x Vert = lVert A_1A_2 x Vert = lVert A_1(A_2 x) Vert otag \
    & leqslant G(A_1) lVert A_2 x Vert leqslant G(A_1) G(A_2)lVert x Vert otag
    end{align}
    由于 (lVert x Vert eq 0),我们断言 ( ho(A_1A_2) lVert x Vert leqslant G(A_1) G(A_2)). 一般情形由归纳法得出.
     
    (M_n) 上哪一个向量范数与 (mathbb{C}^n) 上某个范数相容的?条件 ef{e15} 是必要的. 为了证明它也是充分的,我们需要一个技术性的引理.
     
      引理 7:(G(cdot))(M_n) 上一个满足条件 ef{e15} 向量范数. 则存在一个有限的正常数 (gamma(G)),使得对所有 (A_1,A_2,cdots,A_k in M_n) 以及所有 (k=1,2,cdots) 都有
    egin{align}
    G(A_1)cdots G(A_k) geqslant gamma(G) lVert A_1cdots A_k) Vert_2
    end{align}
      证明:(k) 是一个给定的正整数,给定 (A_1,A_2,cdots,A_k in M_n),又设 (A_1cdots A_k=VSigma W^*) 是奇异值分解. 假设条件允许我们利用 ef{e15} 计算
    egin{align}
    G(V^*)G(A_1)cdots G(A_k)G(W)&geqslant ho(V^*A_1cdots A_kW)= ho(Sigma)= lVert Sigma Vert_2 otag \
    &= lVert V^*A_1cdots A_kW Vert_2 = lVert A_1cdots A_k Vert_2 otag
    end{align}
    最后一个等式是由这个谱范数的酉不变性得出. 由于 (G(cdot)) 是在酉矩阵组成的紧集上的一个连续函数,(mu(G)=max {G(U):U in M_n \,\, ext{是酉矩阵}}) 是一个有限的正数. 我们断定有
    egin{align}
    G(A_1)cdots G(A_k) &geqslant frac{1}{G(V^*)G(W)} lVert A_1cdots A_k) Vert_2 otag \
    & geqslant mu(G)^{-2}lVert A_1cdots A_k) Vert_2 otag
    end{align}
      定理 8: (M_n) 上一个向量范数 (G(cdot))(mathbb{C}^n) 上某个范数相容,当且仅当它满足不等式 ef{e15}.
     
      证明: 定理 6 已经证明了其中的一个蕴含关系. 为证明另一个蕴含关系,我们认为只要证明存在 (M_n) 上一个矩阵范数 (Vert cdot Vert),使得对所有 (A in M_n) 都有 (G(A) geqslant lVert A Vert) 即可. 如果这样的矩阵范数存在,设 (Vert cdot Vert)(mathbb{C}^n) 上一个与之相容的范数,并设给定 (x in mathbb{C}^n) 以及 (A in M_n). 那么 (Vert Ax Vert leqslant Vert A Vert Vert x Vert leqslant G(A) Vert x Vert),所以范数 (Vert cdot Vert) 也是与 (G(cdot)) 相容的. 对于给定的 (A in M_n),有多种方法将它表示成矩阵的乘积或者矩阵乘积之和. 定义
    egin{align}
    lVert A Vert = inf left{ sum_i G(A_{i1} cdots sum_i G(A_{ik_i} ) : sum_i A_{i1}cdots A_{ik_i}=A,\,\, ext{每一个}\,\,A_{ij} in M_n ight}
    end{align}
    函数 (Vert cdot Vert) 是非负齐次的. 它是取正值的吗?如果 (sum_i A_{i1}cdots A_{ik_i}=A eq 0),那么引理 7 以及关于谱范数的三角不等式确保有
    egin{align}
    sum_i G(A_{i1} cdots sum_i G(A_{ik_i} ) & geqslant sum_i gamma(G) lVert A_{i1}cdots A_{ik_i}) Vert_2 otag \
    & geqslant gamma(G)lVert sum_i A_{i1}cdots A_{ik_i}) Vert_2 = gamma(G) lVert A Vert _2 >0 otag
    end{align}
    所以 (Vert cdot Vert) 是正的. 关于 (Vert cdot Vert) 的三角不等式以及次积性由它作为乘积之和的下确界这一定义得出.
     
    我们已经看到,(M_n) 上某些向量范数在 (mathbb{C}^n) 上有相容的范数,而有一些则没有. 那些有相容范数的是谱占优的;而那些没有相容范数的有可能是谱占优的,也有可能不是谱占优的. 我们有必要与充分的条件还判断 (M_n) 上一个向量范数在 (mathbb{C}^n) 上 是否有某个相容的范数. 什么时候 (mathbb{C}^n) 上的范数与 (M_n) 上非次积性的范数相容呢?结论是永远如此.
     
      定理 9: (mathbb{C}^n) 上每一个范数与 (M_n) 上一个非矩阵范数的向量范数相容.
     
     


    应该知道什么

    • (M_n) 上有许多并非矩阵范数的范数,但是 (M_n) 上每一个范数都与任何一个矩阵范数等价
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