常用概率分布简介

概要

在统计分析中，经常会有假设参数服从某种分布，所以在此文中，参考《概率论与数理统计》（茆诗松著），简单罗列一下经常碰到的分布，做下简单介绍，并且结合 Python 中 Scipy.stats 模块进行模拟。将要介绍的分布目录如下：

  二项分布
  泊松分布
  正态分布
  多元正态分布
  均匀分布
  指数分布
  伽玛分布
  贝塔分布
  卡方分布
  (F) 分布
  (t) 分布

 

---

二项分布

 

描述

可以简单理解为 (n) 重伯努利试验中成功（概率为 (p)）的次数的分布，记为 (X)，则 (X) 可能取值为 (0,1,cdots,n)。二项分布概率密度函数为：
egin{align}
P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, qquad k=0,1,2,cdots,n
end{align}
记为 (X sim b(n,p))。其期望、方差为：
egin{align}
E(X) &= np \
Var(X) &= np(1-p)
end{align}

 

实验模拟

python 代码如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018

@author: zhoukui
"""

import matplotlib.pyplot as plt  
import numpy as np
from scipy.stats import binom

fig = plt.figure()

for i, item in enumerate([(10, 0.2), (10, 0.5), (10, 0.8)]):
    n, p = item
    # stats 函数返回均值、方差、偏度、峰值，可以根据 moments 参数设置返回哪些值，
    # 其值为均值、方差、偏度、峰值的首字母，可自己随意组合，比如 'mv'，'vsk' 等
    mean, var, skew, kurt = binom.stats(n, p, moments='mvsk') 
    
    # ppf: Percent point function
    x = np.arange(binom.ppf(0.01, n, p), binom.ppf(0.99, n, p))
    
    ax = fig.add_subplot(1, 3, i+1)

    ax.spines['top'].set_visible(False)  # 设置线框不可见
    ax.spines['right'].set_visible(False)
    
    # pmf: Probability mass function
    ax.plot(x, binom.pmf(x, n, p), 'bo', ms = 8)
    
    if i == 0:
        ax.text(2.5, 0.25, u'偏度 = '+str(skew)[:5])
        ax.text(2.5, 0.23, u'峰度 = '+str(kurt)[:5])
        ax.set_xlabel(r'$b(10, 0.2)$'+u'的线条图（右偏）')
    if i == 1:
        ax.text(1.5, 0.21, u'偏度 = '+str(skew)[:5])
        ax.text(1.5, 0.19, u'峰度 = '+str(kurt)[:5])
        ax.set_xlabel(r'$b(10, 0.5)$'+u'的线条图（对称）')
    if i == 2:
        ax.text(5, 0.25, u'偏度 = '+str(skew)[:6])
        ax.text(5, 0.23, u'峰度 = '+str(kurt)[:5])
        ax.set_xlabel(r'$b(10, 0.8)$'+u'的线条图（左偏）')
        
    ax.vlines(x, 0, binom.pmf(x, n, p), 'b', lw = 5, alpha=0.5)

plt.show()

# 可用 rvs 函数产生服从该分布的值
# 其中 loc 为平移量，从原先的 0~n 转变为 loc~loc+n    
# r = binom.rvs(n, p, loc = 0, size = 1, random_state = None )

结果如下图：

图1：二项分布 $b(n,p)$ 的线条图

从上图可以看出：

• 位于均值 (np) 附近概率较大
• 随着 (p) 的增加，分布的峰逐渐右移

 

---

泊松分布

 

描述

泊松分布的概率分布列是
egin{align}
P(X=k) = frac{lambda^k}{k!} mathrm{e}^{-lambda}, qquad k=0,1,2,cdots
end{align}
其中参数 (lambda >0)，记为 (X sim P(lambda))。期望、方差为
egin{align}
E(X) &= lambda \
Var(X) &= lambda
end{align}
也就是说，泊松分布 (P(lambda)) 中的参数 (lambda) 既是数学期望又是方差。

 

实验模拟

python 代码如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018

@author: zhoukui
"""

import matplotlib.pyplot as plt  
import numpy as np
from scipy.stats import poisson

fig = plt.figure()

for i, mu in enumerate([0.8, 2.0, 4.0]):
    
    # stats 函数返回均值、方差、偏度、峰值，可以根据 moments 参数设置返回哪些值，
    # 其值为均值、方差、偏度、峰值的首字母，可自己随意组合，比如 'mv'，'vsk' 等
    mean, var, skew, kurt = poisson.stats(mu, moments='mvsk') 
    
    # ppf: Percent point function
    x = np.arange(poisson.ppf(0.01, mu), poisson.ppf(0.99, mu))
    
    ax = fig.add_subplot(1, 3, i+1)

    ax.spines['top'].set_visible(False)  # 设置线框不可见
    ax.spines['right'].set_visible(False)
    
    # pmf: Probability mass function
    ax.plot(x, poisson.pmf(x, mu), 'bo', ms = 8)
    
    if i == 0:
        ax.text(1.2, 0.3, u'偏度 = '+str(skew)[:5])
        ax.text(1.2, 0.27, u'峰度 = '+str(kurt)[:5])
        ax.set_xlabel(r'$P(0.8)$'+u'的线条图')
    if i == 1:
        ax.text(2.5, 0.22, u'偏度 = '+str(skew)[:5])
        ax.text(2.5, 0.20, u'峰度 = '+str(kurt)[:5])
        ax.set_xlabel(r'$P(2.0)$'+u'的线条图')
    if i == 2:
        ax.text(6, 0.14, u'偏度 = '+str(skew)[:6])
        ax.text(6, 0.13, u'峰度 = '+str(kurt)[:5])
        ax.set_xlabel(r'$P(4.0)$'+u'的线条图')
        
    ax.vlines(x, 0, poisson.pmf(x, mu), 'b', lw = 5, alpha=0.5)

plt.show() 
   
# 可用 rvs 函数产生服从该分布的值
# 其中 loc 为平移量，从原先的 0~n 转变为 loc~loc+n   
# r = poisson.rvs(mu, loc = 3, size=10)

结果如下图：

图2：泊松分布 $P(lambda)$ 的线条图

从上图可以看出：

• 位于均值 (lambda) 附近概率较大
• 随着 (lambda) 的增加，分布逐渐趋于对称

 

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正态分布

 

描述

正态分布的概率密度函数为：
egin{align}
p(x) = frac{1}{sqrt{2pi} sigma} mathrm{e}^{-dfrac{(x-mu)^2}{2sigma^2}},qquad -infty < x< + infty
end{align}
记作 (X sim N(mu, sigma^2))。期望、方差分别为 (mu)，(sigma^2)。

 

实验模拟

python 代码如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018

@author: zhoukui
"""

import matplotlib.pyplot as plt  
import numpy as np
from scipy.stats import norm

rv1 = norm(0, 0.5)  # 这样可固定参数，方便在后边直接引用
rv2 = norm(0, 1.0)
rv3 = norm(0, 1.5)


fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
    
# stats 函数返回均值、方差、偏度、峰值，可以根据 moments 参数设置返回哪些值，
# 其值为均值、方差、偏度、峰值的首字母，可自己随意组合，比如 'mv'，'vsk' 等
# mean, var, skew, kurt = rv1.stats(moments='mvsk') 

# ppf: Percent point function
x = np.linspace(rv1.ppf(0.01), rv1.ppf(0.99), 100)

ax.spines['top'].set_visible(False)  # 设置线框不可见
ax.spines['right'].set_visible(False)

ax.vlines(0, 0, rv1.pdf(0), lw = 5, alpha = 0.6)

ax.set_ylim(0,1)
ax.set_xticks([])

# pdf: Probability density function
ax.plot(x, rv1.pdf(x), 'r-', lw = 5, alpha = 0.6, label=r'$sigma^2$ = 0.5')
ax.plot(x, rv2.pdf(x), 'g-', lw = 5, alpha = 0.6, label=r'$sigma^2$ = 1.0')
ax.plot(x, rv3.pdf(x), 'b-', lw = 5, alpha = 0.6, label=r'$sigma^2$ = 1.5')
plt.legend()
ax.set_xlabel(r'$mu$'+u'固定，'+r'$sigma$ 值改变')

plt.show() 
   
# 可用 rvs 函数产生服从该分布的值
# 其中 loc 为平移量，从原先的 0~n 转变为 loc~loc+n   
# r = rv1.rvs(size=10)

结果如下图：

图3：正态密度函数

从上图可以看出：

• 如果固定 (mu)，改变 (sigma) 的值，则 (sigma) 愈小，曲线呈高而瘦，(sigma) 愈大，曲线呈矮而胖，也就是说正态密度函数的尺度由参数 (sigma) 所确定，因此 (sigma) 称为尺度参数。

 

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多元正态分布

 

描述

多元正态分布的概率密度函数为：
egin{align}
f(x) = frac{1}{sqrt{(2pi)^k mathrm{det} \, Sigma}} mathrm{exp} left( - dfrac{1}{2} (x-mu)^T Sigma^{-1} (x-mu) ight)
end{align}
称为 (k) 元随机变量 (X) 服从参数为 (mu) 和 (Sigma) 的多元正态分布，记为 (X sim N_k(mu, Sigma))，称 (N_k(0, I)) 为 (k) 元标准正态分布。期望、协方差分别为 (mu) 和 (Sigma)。其中有一个性质是 ((x-mu)^T Sigma^{-1} (x-mu) sim mathcal{X}^2_k)。

 

实验模拟

python 代码如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018

@author: zhoukui
"""

import matplotlib.pyplot as plt  
import numpy as np
from scipy.stats import multivariate_normal

x, y = np.mgrid[-1:1:0.01, -1:1:0.01]
pos = np.dstack((x, y))

rv = multivariate_normal([0.5, -0.2], [[2.0, 0.3], [0.3, 0.5]])  # 均值和协方差

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)


ax.spines['top'].set_visible(False)  # 设置线框不可见
ax.spines['right'].set_visible(False)

# pdf: Probability density function
ax.contourf(x, y , rv.pdf(pos), 100, cmap = 'hot') # 100 控制等位线间距

plt.show() 

结果如下图：

图 4：二元正态分布的等位图

 

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均匀分布

 

描述

若随机变量 (X) 的密度函数为
egin{align}
p(x) = egin{cases} dfrac{1}{b-a}, qquad a < x< b \ 0, qquad others end{cases}
end{align}
则称 (X) 服从区间 ((a,b)) 上的均匀分布，记作 (X sim U(a, b))。其期望、方差为：
egin{align}
E(X) &= frac{a+b}{2} \
Var(X)&= frac{(b-a)^2}{12}
end{align}

 

实验模拟

python 代码如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018

@author: zhoukui
"""

import matplotlib.pyplot as plt  
import numpy as np
from scipy.stats import uniform

# ppf: Percent point function 
x = np.linspace(uniform.ppf(0.01), uniform.ppf(0.99), 100)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)

ax.spines['top'].set_visible(False)  # 设置线框不可见
ax.spines['right'].set_visible(False)

rv = uniform()
# pdf: Probability density function
ax.plot(x, rv.pdf(x), 'r-', lw = 5, alpha = 0.6, label = 'uniform pdf') 
 
# 可用 rvs 函数产生服从该分布的值
# 其中 loc 为平移量，从原先的 0~n 转变为 loc~loc+n   
r = rv.rvs(size = 1000)

ax.hist(r, normed = True, histtype = 'stepfilled', alpha = 0.2)
plt.legend()
plt.show()   

结果如下图：

图 5：均匀分布 $U(0, 1)$ 的概率密度图

 

---

指数分布

 

描述

若随机变量 (X) 的密度函数为
egin{align}
p(x) = egin{cases} lambda mathrm{e}^{-lambda x}, qquad x geqslant 0 \ 0, qquad x<0 end{cases}
end{align}
则称 (X) 服从指数分布，记作 (X sim Exp(lambda))，其中参数 (lambda >0)。其期望、方差为：
egin{align}
E(X) &= frac{1}{lambda} \
Var(X)&= frac{1}{lambda ^2}
end{align}
指数分布具有无记忆性。

 

实验模拟

python 代码如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018

@author: zhoukui
"""

import matplotlib.pyplot as plt  
import numpy as np
from scipy.stats import expon

# ppf: Percent point function 
x = np.linspace(expon.ppf(0.01), expon.ppf(0.99), 100)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)

ax.spines['top'].set_visible(False)  # 设置线框不可见
ax.spines['right'].set_visible(False)

rv = expon()
# pdf: Probability density function
ax.plot(x, rv.pdf(x), 'r-', lw = 5, alpha = 0.6, label = 'expon pdf') 
 
# 可用 rvs 函数产生服从该分布的值
# 其中 loc 为平移量，从原先的 0~n 转变为 loc~loc+n   
r = rv.rvs(size = 1000)

ax.hist(r, normed = True, histtype = 'stepfilled', alpha = 0.2)
plt.legend()
plt.show() 

结果如下图：

图 6：指数分布 $Exp(1)$ 的概率密度图

 

---

伽玛分布

 

描述

称以下函数
egin{align}
Gamma(alpha) = int _0^{+infty} x^{alpha-1}mathrm{e}^{-x} \, mathrm{d}x
end{align}
为伽玛函数，其中参数 (alpha>0)。伽玛函数具有以下性质：

• (Gamma(1) = 1)，(Gamma(dfrac{1}{2}) = sqrt{pi})
• (Gamma(alpha+1) = alpha Gamma(alpha))，当 (alpha) 为自然数 (n) 时，有 (Gamma(n+1) = n!)

若随机变量 (X) 的密度函数为
egin{align}
p(x) = egin{cases} dfrac{lambda^{alpha}}{Gamma(alpha)} x^{alpha-1} mathrm{e}^{-lambda x}, qquad x geqslant 0 \ 0, qquad x<0 end{cases}
end{align}
则称 (X) 服从伽玛分布，记作 (X sim Ga(alpha, lambda))，其中参数 (alpha >0) 为形状参数，(lambda>0) 为尺度参数。其期望、方差为：
egin{align}
E(X) &= dfrac{alpha}{lambda} \
Var(X)&= frac{alpha}{lambda ^2}
end{align}
伽玛分布有两个常用的特例：

• (alpha=1) 时的伽玛分布就是指数分布，即 (Ga(1, lambda) = Exp(lambda))
• 称 (alpha = dfrac{n}{2})，(lambda = dfrac{1}{2}) 时的伽玛分布是自由度为 (n) 的卡方分布，即 (Ga(dfrac{n}{2}, dfrac{1}{2}) = mathcal{X}^2(n))

 

实验模拟

python 代码如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018

@author: zhoukui
"""

import matplotlib.pyplot as plt  
import numpy as np
from scipy.stats import gamma


rv = gamma(0.5, 1)
rv1 = gamma(1., 1)
rv2 = gamma(1.5, 1)
rv3 = gamma(2., 1)
rv4 = gamma(3., 1)

# ppf: Percent point function 
x = np.linspace(rv3.ppf(0.01), rv.ppf(0.999), 100)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)

ax.spines['top'].set_visible(False)  # 设置线框不可见
ax.spines['right'].set_visible(False)

# pdf: Probability density function
ax.plot(x, rv.pdf(x), 'r-', lw = 3, alpha = 0.6, label = r'$alpha=0.5$') 
ax.plot(x, rv1.pdf(x), 'k-', lw = 3, alpha = 0.6, label = r'$alpha=1.0$')
ax.plot(x, rv2.pdf(x), 'b-', lw = 3, alpha = 0.6, label = r'$alpha=1.5$')
ax.plot(x, rv3.pdf(x), 'g-', lw = 3, alpha = 0.6, label = r'$alpha=2.0$')
ax.plot(x, rv4.pdf(x), 'c-', lw = 3, alpha = 0.6, label = r'$alpha=3.0$')
 
# 可用 rvs 函数产生服从该分布的值
# 其中 loc 为平移量，从原先的 0~n 转变为 loc~loc+n   
#r = rv.rvs(size = 1000)

plt.legend()
plt.show()   

结果如下图：

图 7：$lambda=1$ 固定、不同 $alpha$ 和伽玛密度函数曲线

从图中可以看出：

• 当 (0<alpha<1) 时，(p(x)) 是严格下降函数，且在 (x=0) 处有奇异点
• 当 (alpha =1) 时，(p(x)) 是严格下降函数，且在 (x=0) 处 (p(0)=lambda)
• 当 (1<alpha leqslant 2) 时，(p(x)) 是单峰函数，先上凸、后下凸
• 当 (2 leqslant alpha) 时，(p(x)) 是单峰函数，先下凸、中间上凸、后下凸，且 (alpha) 越大，(p(x)) 越近似于正态密度

 

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贝塔分布

 

描述

称以下函数
egin{align}
B(a,b) = int_0^1 x^{a-1} (1-x)^{b-1} \,mathrm{d} x
end{align}
为贝塔函数，其中参数 (a>0)，(b>0) 。贝塔函数具有如下性质：

• (B(a,b)=B(b,a))
  -(B(a,b)=dfrac{Gamma(a) Gamma(b)}{Gamma(a+b)})

若随机变量 (X) 的密度函数为
egin{align}
p(x) = egin{cases} dfrac{Gamma(a) Gamma(b)}{Gamma(a+b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}, qquad 0< x <1 \ 0, qquad others end{cases}
end{align}
则称 (X) 服从贝塔分布，记作 (X sim Be(a, b))，其中参数 (a>0)，(b>0)，两者都为形状参数。其期望、方差为：
egin{align}
E(X) &= frac{a}{a+b} \
Var(X)&= frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}
end{align}

 

实验模拟

python 代码如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018

@author: zhoukui
"""

import matplotlib.pyplot as plt  
import numpy as np
from scipy.stats import beta

rv1 = beta(0.5, 0.5)
rv2 = beta(1.5, 1.5)
# ppf: Percent point function 
x = np.linspace(0, 1, 100)

fig = plt.figure()
ax1 = fig.add_subplot(111)

ax1.spines['top'].set_visible(False)  # 设置线框不可见
ax1.spines['right'].set_visible(False)

# pdf: Probability density function
ax1.plot(x, rv1.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r'$a=0.5, b=0.5$') 
ax1.plot(x, rv2.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r'$a=1.5, b=1.5$')
ax1.vlines(1, 0, rv1.pdf(0.999), linestyles = 'dashed', lw = 3, alpha=0.6)
ax1.legend()

# 可用 rvs 函数产生服从该分布的值
# 其中 loc 为平移量，从原先的 0~n 转变为 loc~loc+n   
#r = rv.rvs(size = 1000)

plt.show()   

结果如下图：

图 8：均匀分布 $U(0, 1)$ 的概率密度图

从上图可以看出：

• (a<1,b<1) 时，(p(x)) 是下凸的单峰函数
• (a>1,b>1) 时，(p(x)) 是上凸的单峰函数
• (a<1,bgeqslant 1) 时，(p(x)) 是下凸的单调减函数
• (ageqslant 1,b<1) 时，(p(x)) 是下凸的单调增函数
• (a=1,b=1) 时，(p(x)) 是常函数，且 (Be(1,1)=U(0,1))

 

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卡方分布

 

描述

设 (X_1,X_2, cdots,X_n) 独立同分布于标准正态分布 (N(0,1))，则 (mathcal{X}^2 = X_1^2+cdots+X_n^2) 的分布称为自由度为 (n) 的 (mathcal{X}^2) 分布，记为 (mathcal{X}^2 sim mathcal{X}^2(n))。

若 (X sim N(0, 1))，则 (X^2 sim Ga(dfrac{1}{2},dfrac{1}{2}))，根据伽玛分布的可加独立性有 (mathcal{X}^2 sim Ga(dfrac{n}{2}, dfrac{1}{2})=mathcal{X}^2(n))，由此可见，(mathcal{X}^2) 分布是伽玛分布的特例，故 (mathcal{X}^2(n)) 分布 的密度函数为
egin{align}
p(y) = dfrac{(1/2)^{dfrac{n}{2}}}{Gamma(n/2)}y^{dfrac{n}{2}-1}mathrm{e}^{-dfrac{y}{2}}, qquad y>0
end{align}
该密度函数的图像是一个只取非负值的偏态分布。其期望等于自由度、方差为两倍的自由度，即：
egin{align}
E(X) &= n \
Var(X)&= 2n
end{align}

 

实验模拟

python 代码如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018

@author: zhoukui
"""

import matplotlib.pyplot as plt  
import numpy as np
from scipy.stats import chi2

rv1 = chi2(4)
rv2 = chi2(6)
rv3 = chi2(10)

# ppf: Percent point function 
x = np.linspace(rv2.ppf(0.01), rv2.ppf(0.99), 100)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)

ax.spines['top'].set_visible(False)  # 设置线框不可见
ax.spines['right'].set_visible(False)

# pdf: Probability density function
ax.plot(x, rv1.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r'$n=4$') 
ax.plot(x, rv2.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r'$n=6$')
ax.plot(x, rv3.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r'$n=10$')

ax.legend()

# 可用 rvs 函数产生服从该分布的值
# 其中 loc 为平移量，从原先的 0~n 转变为 loc~loc+n   
#r = rv.rvs(size = 1000)

plt.show()   ![]()

结果如下图：

图 9：卡方分布 $mathcal{X}^2(n)$ 的概率密度图

 

---

(F) 分布

 

描述

设 (X_1 sim mathcal{X}^2(m))， (X_2 sim mathcal{X}^2(n))，(X_1) 与 (X_2) 独立，则称 (F = dfrac{X_1 / m}{X_2 / n}) 的分布是自由度为 (m) 与 (n) 的 (F) 分布，记为 (F sim F(m,n))，其中 (m) 称为分子自由度，(n) 称为分母自由度。
其密度函数为
egin{align}
p(y) = dfrac{Gammaleft(dfrac{m+n}{2} ight) left( dfrac{m}{n} ight)^{dfrac{m}{2}}}{Gammaleft(dfrac{m}{2} ight)Gammaleft(dfrac{n}{2} ight)} y^{dfrac{m}{2}-1} left( 1+ dfrac{m}{n}y ight)^{-dfrac{m+n}{2}} , qquad y > 0
end{align}
该密度函数的图像是一个只取非负值的偏态分布。由 (F) 分布的构造知，若 (Fsim F(m,n))，则有 (1/F sim F(n,m))。经验证 (F) 分布的期望与方差不一定存在，详细的有待考证。

 

实验模拟

python 代码如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018

@author: zhoukui
"""

import matplotlib.pyplot as plt  
import numpy as np
from scipy.stats import f

rv1 = f(4, 1)
rv2 = f(4, 4)
rv3 = f(4, 10)
rv4 = f(4, 4000)

# ppf: Percent point function 
x = np.linspace(rv2.ppf(0.01), rv2.ppf(0.9), 100)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)

ax.spines['top'].set_visible(False)  # 设置线框不可见
ax.spines['right'].set_visible(False)

# pdf: Probability density function
ax.plot(x, rv1.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r'$m=4, n=1$') 
ax.plot(x, rv2.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r'$m=4, n=4$')
ax.plot(x, rv3.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r'$m=4, n=10$')
ax.plot(x, rv4.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r'$m=4, n=4000$')

ax.legend()

# 可用 rvs 函数产生服从该分布的值
# 其中 loc 为平移量，从原先的 0~n 转变为 loc~loc+n   
#r = rv.rvs(size = 1000)

plt.show()   

结果如下图：

图 10：$F$ 分布 $F(m, n)$ 的概率密度图

 

---

(t) 分布

 

描述

设随机变量 (X_1) 与 (X_2) 独立且 (X_1 sim N(0,1))， (X_2 sim mathcal{X}^2(n))，则称 (t = dfrac{X_1}{sqrt{X_2 / n}}) 的分布是自由度为 (n) 的 (t) 分布，记为 (t sim t(n))。由标准正态密度函数的对称性知，(X_1) 与 (-X_1) 有相同分布，从而 (t) 与 (-t) 有相同分布。其密度函数为
egin{align}
p(y) = dfrac{Gammaleft(dfrac{n+1}{2} ight)}{sqrt{npi}Gammaleft(dfrac{n}{2} ight)} left( 1+ dfrac{y^2}{n} ight)^{-dfrac{n+1}{2}} , qquad -infty < y < +infty
end{align}

(t) 分布的密度函数的图像是一个关于纵轴对称的分布，与标准正态分布的密度函数形状类似，只是峰比标准正态分布低一些，尾部的概率比标准正态分布的大一些。且有以下结论：

• 自由度为 (1) 的 (t) 分布就是标准柯西分布，它的均值不存在
• (n>1) 时，(t) 分布的数学期望存在且为 (0)
• (n>2) 时，(t) 分布的方差存在，且为 (dfrac{n}{n-2})
• 当自由度较大（如 (ngeqslant 30) ）时，(t) 分布可以用 (N(0,1)) 分布近似

 

实验模拟

python 代码如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018

@author: zhoukui
"""

import matplotlib.pyplot as plt  
import numpy as np
from scipy.stats import t
from scipy.stats import norm

rv1 = t(1)
rv2 = t(2)
rv3 = t(4)
rv4 = norm()

# ppf: Percent point function 
x = np.linspace(rv4.ppf(0.001), rv4.ppf(0.999), 100)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)

ax.spines['top'].set_visible(False)  # 设置线框不可见
ax.spines['right'].set_visible(False)

# pdf: Probability density function
ax.plot(x, rv1.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r'$t(1)$') 
ax.plot(x, rv2.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r'$t(2)$')
ax.plot(x, rv3.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r'$t(4)$')
ax.plot(x, rv4.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r'$N(0,1)$')

ax.legend()

# 可用 rvs 函数产生服从该分布的值
# 其中 loc 为平移量，从原先的 0~n 转变为 loc~loc+n   
#r = rv.rvs(size = 1000)

plt.show() 

结果如下图：

图 11：$t$ 分布概率密度图