Comet OJ

Comet OJ - Contest #2 简要题解

cometoj

A

模拟，复杂度是对数级的。
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B

首先易知(pin[l,r])，且最终的利润关于(p)的表达式为(frac{(p-l)(frac{L+R}{2}-p)}{r-l})，二次函数求最值即可。
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C

枚举独立集点数即可。(sum_{i=0}^ninom nip^{inom i2})。
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D

树上的任意一个满足(|S|ge2)的点集(S)均有一个唯一的中心，即直径的中点（可能是一个点也可能是一条边），因此可以在该点集的中心处计算该点集的贡献。
枚举中心(i)，枚举直径长度(j)，要求在(i)点至少两棵不同子树里选与(i)距离恰好为(j)的点，距离小于(j)的点任选。复杂度(O(n^2))。
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E

原图是一片环套树森林。首先考虑把森林缩掉，对于一个叶子节点(v)与其父亲(u)，可以令(p_ugets p_u+(1-p_u)p_vs_v)，并删除点(v)。如此操作后图中就只剩下若干个环了。
对于环上的任意一点计算答案，可以先把这个点的出边断掉，再视作一条链暴力计算，复杂度(O(n^2))。考虑当前一个人以(x)的概率醒来的时候，后一个人醒来的概率可以表示成(ax+b)的形式，其中(a,b)均为只与当前这个人有关的常量。不难发现这种运算满足结合率，因此对环维护前后缀，每次(O(1))合并答案即可，复杂度(O(n))。
比赛的时候无脑上了棵线段树，做法上没有本质区别。code

F

被修修教育了。。。
我们要求对于每个(i)，将第(i)个二项式除去后与(a_i)点乘的结果。

考虑分治。设$$L(x)=prod_{i=1}^{n/2}(p_ix+1-p_i)=sum_{i=0}^{n/2}l_ix^iR(x)=prod_{i=n/2+1}^{n}(p_ix+1-p_i)=sum_{i=0}^{n-n/2}r_ix^i$$

假设我们要求(iin[0,n/2])的答案，由于最终答案一定是(sum_{j=0}^{n/2-1}sum_{k=0}^{n-n/2}l'_jr_ka_{j+k})的形式，而(r_k)对于左边的所有(i)都是定值，因此可以考虑令(a'_j=sum_{k=0}^{n-n/2}r_ka_{j+k})然后用新的(a')递归左边，右边同理。

这样就只需要在每层分治时做两次卷积就好了，复杂度仍然是(O(nlog^2n))，不过常数优秀不少。

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以下是原题解。

orz suika
先求出(F(x)=prod_{i=1}^n(p_ix+1-p_i))，然后对于每个(i)，计算(frac{F(x)}{p_ix+1-p_i})与(a_i)数组点乘的结果。

为了方便处理，我们令(w_i=frac{1-p_i}{p_i})（题目保证(p_iin(0,1])），于是(F(x)=prod_{i=1}^np_i(x+w_i))。由于(prod_{i=1}^np_i)是常数，故下文中均将其忽略。

不难发现问题大致是个退背包的模型，即先往背包里加入(n)个物品，然后每次删去一个。

假设当前求的是第(k)个物品的答案，考虑设$$F(x)=prod_{i=1}^n(x+w_i)=sum_{i=0}^nf_ix^iG(x)=prod_{i=1,i eq k}^n(x+w_i)=sum_{i=0}^{n-1}g_ix^i$$
那么就有递推式

[g_i=f_{i+1}-g_{i+1}w_k(0le i<n,g_n=0) ]

将这个递推式暴力展开

[g_i=sum_{j=0}^{n-1-i}(-w_k)^jf_{i+j+1} ]

于是我们要求的东西就变成了

[ans_k=sum_{i=0}^{n-1}a_ig_i=sum_{i=0}^{n-1}a_isum_{j=0}^{n-1-i}(-w_k)^jf_{i+j+1}\=sum_{j=0}^{n-1}(-w_k)^jsum_{i=0}^{n-1-j}a_if_{i+j+1} ]

令(coef_j=sum_{i=0}^{n-1-j}a_if_{i+j+1})，则(ans_k=sum_{j=0}^{n-1}coef_j(-w_k)^j)，多项式多点求值即可。求(coef_j)的过程只需要一个卷积，因此总复杂度(O(nlog^2n))。
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