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题目传送门 - CF806D
题意
给定一个 n 个点的无向完全图，每一条边有一定的边权。
对于它的一个生成树，我们定义一个节点的花费为该点到根的边权min 。
一个生成树的权值为所有节点的花费之和。
对于每一个节点，求出以他为根的最小生成树权值。
$nleq 2000$
题解
首先，我们考虑找出权值最小的边。
那么，一旦这条边被连到了根，剩下的所有点直接连向它就好了。
假设有一个根，那么最优解之一 一定长成这样：
其中根为最上面那个点，黑色点的上面直接连接的边权值为 min 。
我们将所有点的权值先减掉min 。
这之后我们只需要求出“将根和任意一个连接 0 边的节点连通的最小花费”即可。
考虑将从黑色节点到根的边权依次写出来，假设是 $w_1,w_2,w_3,cdots ,w_n$ ，那么有这样一个性质：
最优解之一 一定满足 $forall i>1, w_i<w_{i+1}$ 。
因为如果存在一个不满足的 $i$ ，我们可以直接把第 $i-1$ 个接上去，把第 $i$ 个接到黑点上面。
对于第一条边，当然不需要满足。
设一个超级源点 S ，使他免费连向所有与 0 边直接相连的点，并与其他点没有边。
于是，对于任何一个点 x，对于它连向的任意一个与 0 边直接相连的点 y ，将 d[x][S] 变成 min(d[x][S],2*d[x][y]) 即可。
最后只要从 S 开始跑一下最短路就好了。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL read(){
LL x=0,f=0;
char ch=getchar();
while (!isdigit(ch))
f|=ch=='-',ch=getchar();
while (isdigit(ch))
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
return f?-x:x;
}
const int N=2005;
const int INF=2e9;
int n;
int g[N][N];
int tag[N],near[N];
int vis[N];
LL dis[N];
int main(){
n=read();
int Min=INF;
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=i+1;j<=n;j++){
g[i][j]=g[j][i]=read();
Min=min(Min,g[i][j]);
}
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=n;j++)
if (i!=j){
g[i][j]-=Min;
if (!g[i][j])
tag[i]=tag[j]=1;
}
int S=n+1;
for (int i=1;i<=n;i++)
g[S][i]=g[i][S]=tag[i]?0:INF;
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=n;j++)
if (i!=j){
if (tag[i])
near[j]=1;
if (tag[j])
near[i]=1;
}
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=n;j++)
if (i!=j&&near[j])
g[S][i]=g[i][S]=min(g[i][S],2*g[i][j]);
for (int i=1;i<=n+1;i++)
vis[i]=0,dis[i]=1e15;
dis[S]=0;
for (int i=1;i<=n+1;i++){
int x=0;
for (int j=1;j<=n+1;j++)
if (!vis[j]&&(x==0||dis[j]<dis[x]))
x=j;
vis[x]=1;
for (int j=1;j<=n+1;j++)
if (!vis[j]&&dis[j]>dis[x]+g[x][j])
dis[j]=dis[x]+g[x][j];
}
for (int i=1;i<=n;i++)
cout << dis[i]+(LL)Min*(n-1) << endl;
return 0;
}