HDU3306 Another kind of Fibonacci 矩阵

欢迎访问~原文出处——博客园-zhouzhendong

去博客园看该题解

---

题目传送门 - HDU3306

---

题意概括

　　A₀=1,A₁=1,A_N=X*A_N-1+Y*A_N-2(N>=2).求S_N,S_N=A₀²+A₁²+…+A_n².

---

题解

　　这题是用矩阵做的，一看(sou)就知道。

　　设s_i为前i项的答案。

　　如果要求第i项的a_i那么是很简单的。

　　构建矩阵：

　　　　  　a_i-1   　　  a_i

　　a_i-2 　 　0 　　　  y

　　a_i-1 　 　1 　　　  x

　　但是好像没用。

　　没错，的确没用。

　　我们从二次项考虑：

　　s_i=s_i-1+a_i²

　　    　 =s_i-1+(xa_i-1+ya_i-2)²

　　　　 =s_i-1+x²a_i-1²+y²a_i-2²+2xya_i-1a_i-2

　　那么对于a_k²形式的已经可以完成递推了。但是有一个棘手的东西，就是a_ka_k-1怎么完成递推？

　　我们继续推导：

　　a_ka_k-1=(xa_k-1+ya_k-2)a_k-1

　　　　  =xa_k-1²+ya_k-1a_k-2

　　我们发现a_k-1²和a_k-1a_k-2这两个其实可以按照之前推出来的推，而且不影响后面的。

　　于是，我们可以构建递推矩阵：

　　　　　　　s_i 　　   a_i² 　　 a_i-1² 　　　a_ia_i-1

　　s_i-1      　　1 　　   0 　　     0 　　　　 0

　　a_i-1² 　　　x² 　　  x² 　　   1 　　　　 x

　　a_i-2² 　　　x² 　　  y² 　　   0 　　　　 0

　　a_i-1a_i-2 　　2xy 　  2xy 　　  0 　　　　 y

　　

　　意义：

　　s_i  = s_i-1+x²a_i-1²+y²a_i-2²+2xya_i-1a_i-2

　　a_i²=        x²a_i-1²+y²a_i-2²+2xya_i-1a_i-2

　　a_i-1²    =           a_i-1²

　　a_ia_i-1   =         xa_i-1²+                ya_i-1a_i-2

　　

　　那么原始矩阵的第一行就是

　　s₁ 　　a₁² 　　a₀² 　　a₁a₀

　　算出s_n，就是把这个原始矩阵乘上n-1个递推矩阵。

　　

---

代码

#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
using namespace std;
const int mod=10007,m=4;
struct Mat{
	int v[m][m];
	Mat (){}
	Mat (int x){
		(*this).set(x);
	}
	void print(){
		for (int i=0;i<m;i++,puts(""))
			for (int j=0;j<m;j++)
				printf("%5d ",v[i][j]);
		puts("");
	}
	void set(int x){
		memset(v,0,sizeof v);
		if (x==1)
			for (int i=0;i<m;i++)
				v[i][i]=1;
	}
	Mat operator * (Mat x){
		Mat ans(0);
		for (int i=0;i<m;i++)
			for (int j=0;j<m;j++)
				for (int k=0;k<m;k++)
					ans.v[i][j]=(ans.v[i][j]+v[i][k]*x.v[k][j])%mod;
		return ans;
	}
	void operator *= (Mat x){
		(*this)=(*this)*x;
	}
}M,Md;
Mat MatPow(Mat x,int y){
	Mat ans(1),now=x;
	while (y){
		if (y&1)
			ans*=now;
		now*=now;
		y>>=1;
	}
	return ans;
}
int n,x,y;
int main(){
	while (~scanf("%d%d%d",&n,&x,&y)){
		x%=mod,y%=mod;
		M.set(0);
		int newi[m]={2,1,1,1};
		int newd[m][m]={{1			,0			,0,0},
						{x*x%mod	,x*x%mod	,1,x},
						{y*y%mod	,y*y%mod	,0,0},
						{2*x*y%mod	,2*x*y%mod	,0,y}};
		memcpy(M.v[0],newi,sizeof newi);
		memcpy(Md.v,newd,sizeof newd);
		Md=MatPow(Md,n-1);
		M*=Md;
		printf("%d
",M.v[0][0]);
	}
	return 0;
}