GMOJ 5506. 【清华冬令营2018模拟】变量

Description

有n个变量w[1]~w[n]，每个变量可以取W或-W。
有p个式子，形如Hi=ai|w[xi]-w[yi]|+bi|w[yi]-w[zi]|+ci|w[zi]-w[xi]|+di(w[xi]-w[yi])+ei(w[yi]-w[zi])+fi(w[zi]-w[xi])。
有q个条件，形如w[x]<=w[y]或w[x]=w[y]或w[x]<w[y]。
最小化sigma(wi)+sigma(Hi)。

Data Constraint

数据组数≤10，n≤500, p,q≤1000, W≤10^6, 系数≤10^3，所有数字∈N。

Solution

奇怪的条件限制+不大的数据范围=网络流。
第一次做最小割+二元关系的题目。

考虑建图，首先对于每个变量w，连正权边S(s,i)和负权边S(i,t)，割啥选啥
然后是 H(i)，先考虑 x, y，取绝对值 = 异号2a 同号为0 ⟹ 连一条权值为2a的无向边(x, y)
后面的有点复杂，拆开式子后化为 (d - f) * w ⟹ 有向边(s, x) += (d - f) * w，无向边(x, t) -= (d - f) * w

再考虑限制条件，
w[x] ≤ w[y] ⟹ 有向边(y, x) = inf，表示要不然割(s, y)，要不然割(x, t)和(y, t)
w[x] = w[y] ⟹ 无向边(x, y) = inf，表示要不然同时割(s, x)(s, y)，要不然同时割(x, t)(y, t)
w[x] > w[y] ⟹ 有向边(s, x) = (y, t) = inf

这样子图就建好啦！
但是有负权边…………
所有(s, x), (x, t) += inf（一个极大值但别超过最大值，超过了会不会WA我也不造，注意这里指无向边）
其他的边都是inf边或补正边可以不加（为什么？）
最后答案减去 n * inf （共割了n条边）

最大流然后没啦！

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

#define N 501
#define M 1000

#define ll long long

#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
#define Mes(a, x) memset(a, x, sizeof a)
#define Min(x, y) (x < y ? x : y)

void read(ll &x) {
    char ch = getchar(); x = 0;
    while (ch < '0' || ch > '9') ch = getchar();
    while (ch >= '0' && ch <= '9') x = (x << 1) + (x << 3) + ch - 48, ch = getchar();
}

const ll inf = (1ll << 40), INF = (1ll << 50);

int dis[N + 1], gap[N + 1], pre[N + 1], be[N + 1];

ll his[N + 1], f[N + 1][N + 1];

ll n, m, W, p, q;

ll Sap() {
    Mes(dis, 0), Mes(gap, 0), Mes(be, 0);
    gap[0] = m + 1;
    ll sum = 0, aug = INF;
    for (int u = 0, flow; dis[u] < m; ) {
        his[u] = aug, flow = 0;
        fo(i, be[u], m) if (f[u][i] > 0 && dis[u] - 1 == dis[i]) {
            pre[i] = u;
            aug = Min(aug, f[u][i]);
            be[u] = i;
            u = i;
            flow = 1;
            if (u == m) {
                sum += aug;
                while (u) {
                    f[u][pre[u]] += aug, f[pre[u]][u] -= aug;
                    u = pre[u];
                }
                aug = inf;
            }
            break;
        }
        if (flow) continue;
        int v = 0;
        fo(i, 0, m) if (f[u][i] > 0 && dis[i] < dis[v])
            v = i;
        if (-- gap[dis[u]] == 0) break;
        ++ gap[ dis[u] = dis[v] + 1 ];
        be[u] = v;
        if (u) u = pre[u], aug = his[u];
    }
    return sum;
}

int main() {
    freopen("variable1.in", "r", stdin);
    freopen("variable.out", "w", stdout);

    ll T; read(T);
    while (T --) {
        Mes(f, 0);
        read(n), read(W), read(p), read(q);
        m = n + 1;
        ll x, y, z, a, b, c, d, e, f1;
        fo(i, 1, p) {
            read(x), read(y), read(z), read(a), read(b), read(c), read(d), read(e), read(f1);
            f[x][y] += (a << 1) * W, f[y][x] += (a << 1) * W;
            f[y][z] += (b << 1) * W, f[z][y] += (b << 1) * W;
            f[z][x] += (c << 1) * W, f[x][z] += (c << 1) * W;
            f[0][x] += (d - f1) * W, f[x][m] -= (d - f1) * W;
            f[0][y] += (e - d) * W, f[y][m] -= (e - d) * W;
            f[0][z] += (f1 - e) * W, f[z][m] -= (f1 - e) * W;
        }
        fo(i, 1, n) f[0][i] += W, f[i][m] -= W;
        fo(i, 1, n) f[0][i] += inf, f[i][0] += inf, f[i][m] += inf, f[m][i] += inf;
        fo(i, 1, q) {
            read(x), read(y), read(z);
            if (z == 0) f[y][x] = INF;
            else if (z == 1) f[x][y] = f[y][x] = INF;
            else f[0][x] = f[y][m] = INF;
        }

        ll ans = Sap();
        ans -= 1ll * n * inf;
        printf("%lld
", ans);
    }

    return 0;
}