有一棵二叉树，最大深度为D，且所有的叶子深度都相同。所有结点从上到下从左到右编号为1，2，3，…，2eD-1。在结点1处放一个小球，它会往下落。每个结点上都有一个开关，初始全部关闭，当每次有小球落到一个开关上时，它的状态都会改变。当小球到达一个内结点时，如果该结点的开关关闭，则往上走，否则往下走，直到走到叶子结点，如下图所示。
一些小球从结点1处依次开始下落，最后一个小球将会落到哪里呢？输入叶子深度D和小球个数I，输出第I个小球最后所在的叶子编号。假设I不超过整棵树的叶子数；D<=20。输出最多包含1000组数据。
样例输入：
4 2
3 4
10 1
2 2
8 128
16 12345
样例输出：
12
7
512
3
255
36358
方法一：
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #define MAXN 20 4 int s[1<<MAXN]; //将1左移20位，即得最大结点个数为2eMAXN-1 5 int main(void) 6 { 7 int D, I; 8 while(scanf("%d%d", &D, &I) == 2) 9 { 10 memset(s, 0, sizeof(s)); //开关（默认0为关闭状态），memset函数包含头文件string.h 11 int k, n = (1<<D)-1; //n是最大结点编号 12 for(int i = 0; i < I; i++) //连续让n个小球下落 13 { 14 k = 1; 15 for(; ;) 16 { 17 s[k] = !s[k]; 18 k = s[k] ? k*2 : k*2+1; //根据开关状态选择下落方向 19 if(k > n) break; //已经落“出界”了，下落次数为D 20 } 21 } 22 printf("%d ", k/2); //“出界”之前的叶子编号 23 } 24 return 0; 25 }
分析：
1.对于一个结点k，它的左儿子，右儿子的编号分别是2k和2k+1。
2.尽管每次小球都是严格下落D-1次，但上述代码中采用“if(k>n) break”的方法判断“出界”更具一般性。
3.该程序运算量太大：由于I可以高达2(D-1)，每个测试数据下落总层数可能会高达219*19（即I*19）=9961472,而一共可能有1000组数据。
方法二：
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #define MAXN 20 4 int s[1<<MAXN]; //将1左移20位，即得最大结点个数为2eMAXN-1 5 int main(void) 6 { 7 int D, I; //定义小球的个数,即最后一个小球编号为I 8 //直接模拟最后一个小球的路线 9 while(scanf("%d%d", &D, &I) == 2) 10 { 11 memset(s, 0, sizeof(s)); //开关（默认0为关闭状态），memset函数包含头文件string.h 12 int k; //n是最大结点编号 13 for(int i = 0; i < I; i++) //连续让n个小球下落 14 { 15 k = 1; 16 for(int i = 0; i < D-1; i++) //连续进行D-1次下落 17 if(I%2) { k = k*2; I = (I+1)/2; } //当I为奇数时，它是往左走的第（I+1）/2个小球 18 else { k = k*2+1; I /= 2; } //当I为偶数时，它是往右走的第I/2个小球 19 } 20 printf("%d ", k); //输出最后一个小球I的叶子编号 21 } 22 return 0; 23 }
分析：
1. （1）由于每个小球都会落在根节点上，前两个小球必然是一个在左子树，一个在右子数；则一般情况下，只需看小球编号的奇偶性，就能知道它是最终在哪棵子树中。
（2）对于那些落入根节点落入左/右子树的小球，只需知道该小球是第几个落在根的左/右子树里，就可以知道它下一步往左还是往右。
（3）依此类推，直到小球落在叶子上。
2.程序不仅其运算量与小球编号无关，而且节省了一个巨大的数组s。
3.使用小技巧I%2判断，避开对I奇偶性的讨论。