算法设计与分析之动态规划

今天刚刚学了动态规划，把书上的代码敲了一下，在此留下一笔。动态规划与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。在子问题的求解过程中，有很多子问题被重复计算了。于是我们可以用一个表来记录所有已解决的子问题的的答案。不管该问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划的基本思想。

一、动态规划的设计步骤：

（1)找出最优解的性质，并刻画其结构特征；

（2）递归地定义最优值；

（3）以自顶向下的方式计算出最优值；

（4）根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

下面使用动态规划来解决的是矩阵连乘问题。

 问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,...,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。

第一步分析最优解的结构：

　　若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。s[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为(A[i:k])(A[k+1:j)。因此，从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，进一步递推，A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去，最终可以确定A[1:n]的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。

第二步、建立递归关系

 设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。

      当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n
      当i<j时，若A[i:j]的最优次序在Ak和Ak+1之间断开，i<=k<j,则：m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。由于在计算是并不知道断开点k的位置，所以k还未定。不过k的位置只有j-i个可能。因此，k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。

      综上，有递推关系如下：

          

第三步、计算最优解

最后代码如下：

package algo.chapter3;

import java.io.Serializable;

/**
 * 矩阵相乘
 * @author Administrator
 *
 */
public class MatrixPlus {
    

    public static void matrixChain(int[] p,int [][]m,int [][]s)
    {
        int n = p.length-1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            m[i][i] = 0;
        for(int r=2;r<=n;r++)
            //对角线上循环的次数
            for(int i=1;i<=n-r+1;i++)
            {
                int j = i+r-1;
                m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];
                s[i][j] = i;
                for(int k=i+1;k<j;k++)
                {
                    int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
                    if(t < m[i][j])
                    {
                        m[i][j] = t;
                        //递归式，记录k的位置
                        s[i][j] = k;
                    }
                }
            }
    }
    
    

    public static void traceback(int [][]s,int i,int j)
    {
        if(i == j)
            return;
        traceback(s,i,s[i][j]);
        traceback(s,s[i][j]+1,j);
        System.out.println("Multiply A"+i+"."+s[i][j]+
                "and A"+(s[i][j]+1)+"."+j);
    }
    
    //打印加括号的最优解方案
    public static void optimalParens(int [][]s,int i,int j)
    {
        if(i==j)
            System.out.print("(A"+i);
        else
        {
            optimalParens(s,i,s[i][j]);
            optimalParens(s,s[i][j]+1,j);
            System.out.print(")");
        }
    }
}

测试代码：

package algo.chapter3.test;

import algo.chapter3.MatrixPlus;

public class MatrixTest {

    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        int [] p = {39,45,35,15,23,45,67,10,26,37};
        int n = p.length;
        //{{12,3,45,56},{2,4,6,23},{9,87,34,23},{23,45,56,56},{23,3,6,8}}
        int [][] m = new int[n][n];
        int [][] s = new int[n][n];
        MatrixPlus.matrixChain(p, m, s);
        System.out.println("该矩阵阶乘子问题数乘的个数为：");
        for(int i=1;i<m.length;i++)
        {
            for(int j=1;j<m.length;j++)
            {    
                if(i>j)
                {
                    System.out.print("----"+"\t");
                }
                else
                {
                    System.out.print(m[i][j]+"\t");
                }
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println();
        System.out.println("该矩阵阶乘子问题数乘的个数为：");
        for(int i=1;i<s.length;i++)
        {
            for(int j=1;j<s.length;j++)
            {    
                if(i>j)
                {
                    System.out.print("----"+"\t");
                }
                else
                {
                    System.out.print(s[i][j]+"\t");
                }
            }
            System.out.println();
        }
        
        System.out.println();
        System.out.println("该矩阵阶乘的最优解为：");
        MatrixPlus.traceback(s, 1, n-1);
        MatrixPlus.optimalParens(s, 1, n-1);
    }

}

最后的运行结果如下图：

 参考：http://blog.csdn.net/liufeng_king/article/details/8497607