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剑指Offer - 九度1387 - 斐波那契数列
2013-11-24 03:08

题目描述：

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项。斐波那契数列的定义如下：

输入：

输入可能包含多个测试样例，对于每个测试案例，

输入包括一个整数n(1<=n<=70)。

输出：

对应每个测试案例，

输出第n项斐波那契数列的值。

样例输入：

3

样例输出：

2

题意分析：
　　斐波那契数列的定义：
　　　　f[1] = 1, f[2] = 1
　　　　f[n] = f[n - 1] + f[n - 2]， n >= 3
　　数学推导上，可以用特征根方程求出x^2 = x + 1的俩根 x = (1 土 sqrt(5)) / 2，编程的话你当然不会这么无聊去惹出一对无理数来。
　　方法一，从f[1]、f[2]开始逐个计算f[3]到f[n]，求出f[n]。时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)。
　　方法二，用矩阵来计算。
　　　　将[f[n + 1], f[n]]作为一个列向量v[n]，从v[n - 1] = [f[n - 1], f[n - 2]]到v[n]要经过一次线性变换T(v)，T对应的矩阵A就是我们要构造的(当然是对应于自然基的)。
　　　　设A = [a, b; c, d], v[n] = A * v[n - 1]，显然(a, b, c, d)的解不唯一，就构造个最简单的就行了：[a, b, c, d] = [1, 1, 1, 0]。
　　　　v[n] = A^(n - 1) * v[1]，于是问题就转化成了矩阵的快速幂。时间复杂度O(log(n))，递归求解空间复杂度O(log(n))。
　　数据范围小的话，用方法一就行，一般int和long long数据范围也只能支持几十个Fibonacci数。要计算大数的话，高精度算法配合方法二的O(log(n))效率肯定是免不了的。
下面是O(n)简单算法，数据量才70就不大材小用了，Over engineered是个坏习惯。

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#include   <cstdio>
using namespace std;

int main()
{
    int n, i;
    long long int f1, f2, f3;
    
    while(scanf("%d", &n) == 1){
        if(n == 0){
            printf("0
");
            continue;
        }
        if(n == 1){
            printf("1
");
            continue;
        }
        f1 = 0;
        f2 = 1;
        for(i = 1; i < n; ++i){
            f3 = f1 + f2;
            f1 = f2;
            f2 = f3;
        }
        
        printf("%lld
", f3);
    }
    
    return 0;
}