《数据结构与算法分析：C语言描述》复习——第四章“树”——AVL树

2014.06.15 16:22

简介：

　　AVL树是一种高度平衡的二叉搜索树，其命名源自于联合发明算法的三位科学家的名字的首字母。此处“平衡”的定义是：任意节点的左右子树的高度相差不超过1。有了这个平衡的性质，使得AVL树的高度H总是接近log(N)，因此各种增删改查的操作的复杂度能够保证在对数级别。没有bad case是AVL树与普通的二叉搜索树的最大区别。为了实现平衡性质，我们需要记录每个节点的高度（或者平衡因子）来检测不平衡的情况。为了修正高度不平衡，需要用到“旋转”的方法，分为单旋转和双旋转，左右总共四种旋转。下面的图解会给出旋转的示意，这个是AVL树的关键算法。AVL树看起来特简单，但你动手写写就知实现一棵AVL树有多麻烦。如果你能用200行写出能增删改查的AVL树，请留言给我点提示。我花了一天想思路，并犹豫要不要放弃。又花了一天写代码和自测。终于用500多行代码写完了自己的第一棵AVL树。如果面试里需要平衡查找结构，你最好试试树堆或者跳表，千万别想AVL或者伸展树。不需要自己写的话，还是<map>吧。

图示：

　　一棵平衡的二叉树：

　　

　　查找不涉及数据的修改，因此和普通二叉搜索树完全一样：

　　　　

　　插入21之后，树的平衡被破坏了，而且不止一个点出现了不平衡：

　　

　　当平衡被破坏之后，需要从第一个不平衡的地方开始旋转，然后逐层往上继续修正。此处给出一次旋转之后的结果：

　　

　　一次旋转不一定能修复N个不平衡的节点，因此要从第一个不平衡的节点往上检查所有需要修复的节点。

　　下面给出四种旋转的示意图，代码的注释中也有类似的示意，以便读者能够直观地想象旋转中发生的变形（数据结构最大的魅力，就在于它们动起来比变形金刚的花样还多）。

　　左单旋转：

　　

　　右单旋转：

　　

　　左右双旋转：

　　

　　右左双旋转：

　　

实现：

　　为了向上检查，我引入了parent指针指向二叉树节点的父节点。为了检查平衡状况，我是用了height成员表示树的高度。虽然平衡因子好像更规范，但当时尝试用平衡因子的时候思路始终理不清楚，所以选择了高度作为依据。下面的实现中其实有不少代码是供测试用的，比如三种遍历。这些debug代码对于学习AVL树有帮助作用，如果你有兴趣可以自己运行查看结果。

　　插入和删除都会影响树的平衡性，因此对于发生变动的节点，需要更新其高度，以便检测平衡性并进行旋转。AVL树的删除挺难想的，需要在草稿纸上比划半天才能想明白。

　　请看代码。

// My implementation for avl tree.
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;

struct TreeNode {
    int val;
    int height;
    TreeNode *left;
    TreeNode *right;
    TreeNode *parent;
    TreeNode(int _val): val(_val), height(1), left(nullptr), right(nullptr), parent(nullptr) {};
};

class AVLTree {
public:
    AVLTree() {
        m_root = nullptr;
    }
    
    bool empty() {
        return m_root == nullptr;
    }
    
    void clear() {
        _deleteTree(m_root);
    }
    
    void insertNode(const int &val) {
        if (m_root == nullptr) {
            m_root = new TreeNode(val);
            return;
        }

        TreeNode *ptr = _findNode(val);
        
        if (val == ptr->val) {
            return;
        }
        
        if (val < ptr->val) {
            ptr->left = new TreeNode(val);
            ptr->left->parent = ptr;
        } else if (val > ptr->val) {
            ptr->right = new TreeNode(val);
            ptr->right->parent = ptr;
        }
        
        int hl, hr;
        TreeNode *ptr2;
        while (ptr != nullptr) {
            ptr2 = ptr->parent;
            _getHeight(ptr);
            hl = _height(ptr->left);
            hr = _height(ptr->right);
            switch(hl - hr) {
            case -2:
                switch (_height(ptr->right->left) - _height(ptr->right->right)) {
                case -1:
                    _singleRotationRight(ptr);
                    break;
                case +1:
                    _doubleRotationRightLeft(ptr);
                    break;
                }
                break;
            case +2:
                switch (_height(ptr->left->left) - _height(ptr->left->right)) {
                case -1:
                    _doubleRotationLeftRight(ptr);
                    break;
                case +1:
                    _singleRotationLeft(ptr);
                    break;
                }
                break;
            }
            ptr = ptr2;
        }
    }
    
    void deleteNode(const int &val) {
        if (m_root == nullptr) {
            return;
        }
        
        TreeNode *par, *cur;
        
        cur = _findNode(val);
        if (cur == nullptr || cur->val != val) {
            return;
        }
        par = cur->parent;
        
        TreeNode *ptr;
        do {
            if (cur->left != nullptr) {
                ptr = _shiftLeft(cur);
                break;
            }
        
            if (cur->right != nullptr) {
                ptr = _shiftRight(cur);
                break;
            }
        
            if (par == nullptr) {
                delete cur;
                m_root = nullptr;
            } else if (val < par->val) {
                delete cur;
                par->left = nullptr;
            } else {
                delete cur;
                par->right = nullptr;
            }
            ptr = par;
        } while (0);

        int hl, hr;
        TreeNode *ptr2;
        while (ptr != nullptr) {
            ptr2 = ptr->parent;
            _getHeight(ptr);
            hl = _height(ptr->left);
            hr = _height(ptr->right);
            switch(hl - hr) {
            case -2:
                switch (_height(ptr->right->left) - _height(ptr->right->right)) {
                case -1:
                    _singleRotationRight(ptr);
                    break;
                case +1:
                    _doubleRotationRightLeft(ptr);
                    break;
                }
                break;
            case +2:
                switch (_height(ptr->left->left) - _height(ptr->left->right)) {
                case -1:
                    _doubleRotationLeftRight(ptr);
                    break;
                case +1:
                    _singleRotationLeft(ptr);
                    break;
                }
                break;
            }
            ptr = ptr2;
        }
    }
    
    void updateNode(const int &old_val, const int &new_val) {
        deleteNode(old_val);
        insertNode(new_val);
    }
    
    bool contains(const int &val) {
        TreeNode *ptr = _findNode(val);
        return ptr == nullptr ? false : ptr->val == val ? true : false;
    }
    
    string preorderTraversal() {
        string result;
        _preorderTraversalRecursive(m_root, result);
        return result;
    }
    
    string inorderTraversal() {
        string result;
        _inorderTraversalRecursive(m_root, result);
        return result;
    }
    
    string postorderTraversal() {
        string result;
        _postorderTraversalRecursive(m_root, result);
        return result;
    }
    
    ~AVLTree() {
        clear();
    }
private:
    TreeNode *m_root;
    
    void _deleteTree(TreeNode *&root) {
        if (root == nullptr) {
            return;
        }
        _deleteTree(root->left);
        _deleteTree(root->right);
        delete root;
        root = nullptr;
    }
    
    TreeNode* _findNode(const int &val) {
        TreeNode *ptr;
        
        ptr = m_root;
        while (ptr != nullptr) {
            if (val == ptr->val) {
                return ptr;
            }
            if (val < ptr->val) {
                if (ptr->left != nullptr) {
                    ptr = ptr->left;
                } else {
                    return ptr;
                }
            } else {
                if (ptr->right != nullptr) {
                    ptr = ptr->right;
                } else {
                    return ptr;
                }
            }
        }
        return ptr;
    }
    
    void _preorderTraversalRecursive(const TreeNode  *root, string &result) {
        result.push_back('{');
        if (root == nullptr) {
            // '#' represents NULL.
            result.push_back('#');
        } else {
            result.append(to_string(root->val));
            _preorderTraversalRecursive(root->left, result);
            _preorderTraversalRecursive(root->right, result);
        }
        result.push_back('}');
    }
    
    void _inorderTraversalRecursive(const TreeNode  *root, string &result) {
        result.push_back('{');
        if (root == nullptr) {
            // '#' represents NULL.
            result.push_back('#');
        } else {
            _inorderTraversalRecursive(root->left, result);
            result.append(to_string(root->val));
            _inorderTraversalRecursive(root->right, result);
        }
        result.push_back('}');
    }
    
    void _postorderTraversalRecursive(const TreeNode  *root, string &result) {
        result.push_back('{');
        if (root == nullptr) {
            // '#' represents NULL.
            result.push_back('#');
        } else {
            _postorderTraversalRecursive(root->left, result);
            _postorderTraversalRecursive(root->right, result);
            result.append(to_string(root->val));
        }
        result.push_back('}');
    }
    
    TreeNode *_shiftLeft(TreeNode *root) {
        TreeNode *cur, *par;
        
        // root and root->left is guaranteed to be non-empty.
        par = root;
        cur = par->left;
        
        while (cur->right != nullptr) {
            par = cur;
            cur = cur->right;
        }
        root->val = cur->val;
        
        if (cur->left != nullptr) {
            return _shiftLeft(cur);
        }
        
        if (cur->right != nullptr) {
            return _shiftRight(cur);
        }
        
        if (cur == par->left) {
            delete par->left;
            par->left = nullptr;
        } else {
            delete par->right;
            par->right = nullptr;
        }

        return par;
    }

    TreeNode *_shiftRight(TreeNode *root) {
        TreeNode *cur, *par;
        
        // root and root->right is guaranteed to be non-empty.
        par = root;
        cur = par->right;
        
        while (cur->left != nullptr) {
            par = cur;
            cur = cur->left;
        }
        root->val = cur->val;
        
        if (cur->left != nullptr) {
            return _shiftLeft(cur);
        }
        
        if (cur->right != nullptr) {
            return _shiftRight(cur);
        }
        
        if (cur == par->left) {
            delete par->left;
            par->left = nullptr;
        } else {
            delete par->right;
            par->right = nullptr;
        }
        
        return par;
    }
    
    int _max(const int &x, const int &y) {
        return x > y ? x : y;
    }
    
    int _height(const TreeNode *ptr) {
        return ptr == nullptr ? 0 : ptr->height;
    }
    
    void _getHeight(TreeNode *ptr) {
        if (ptr == nullptr) {
            return;
        }
        ptr->height = _max(_height(ptr->left), _height(ptr->right)) + 1;
    }
    
    void _singleRotationLeft(TreeNode *cur) {
        // Subtree A is deeper than subtree B.
        // Before rotation:
        //     X
        //    / 
        //   Y   C
        //  / 
        // A   B
        // ----------
        // After rotation:
        //   Y
        //  / 
        // A   X
        //    / 
        //   B   C
        TreeNode *par = cur->parent;
        TreeNode *B;
        TreeNode *X, *Y;
        
        X = cur;
        Y = cur->left;
        B = Y->right;
        
        Y->right = X;
        X->parent = Y;
        X->left = B;
        if (B != nullptr) {
            B->parent = Y;
        }
        
        if (par == nullptr) {
            m_root = Y;
        } else if (par->left == cur) {
            par->left = Y;
        } else {
            par->right = Y;
        }
        Y->parent = par;
        
        _getHeight(X);
        _getHeight(Y);
        _getHeight(par);
    }
    
    void _singleRotationRight(TreeNode *cur) {
        // Subtree C is deeper than subtree B.
        // Before rotation:
        //   X
        //  / 
        // A   Y
        //    / 
        //   B   C
        // ----------
        // After rotation:
        //     Y
        //    / 
        //   X   C
        //  / 
        // A   B
        TreeNode *par = cur->parent;
        TreeNode *B;
        TreeNode *X, *Y;
        
        X = cur;
        Y = cur->right;
        B = Y->left;
        
        Y->left = X;
        X->parent = Y;
        X->right = B;
        if (B != nullptr) {
            B->parent = X;
        }
        
        if (par == nullptr) {
            m_root = Y;
        } else if (par->left == cur) {
            par->left = Y;
        } else {
            par->right = Y;
        }
        Y->parent = par;
        
        _getHeight(X);
        _getHeight(Y);
        _getHeight(par);
    }
    
    void _doubleRotationLeftRight(TreeNode *cur) {
        // Subtree Z is deeper than subtree A. Single rotation won't work, so let's use this one instead.
        // Before rotation:
        //     X
        //    / 
        //   Y   D
        //  / 
        // A   Z
        //    / 
        //   B   C
        // ----------
        // After rotation:
        //      Z
        //    /   
        //   Y     X
        //  /    / 
        // A   B C   D
        TreeNode *par = cur->parent;
        TreeNode *B, *C;
        TreeNode *X, *Y, *Z;
        
        X = cur;
        Y = X->left;
        Z = Y->right;
        B = Z->left;
        C = Z->right;
        
        Z->left = Y;
        Y->parent = Z;
        Z->right = X;
        X->parent = Z;
        Y->right = B;
        if (B != nullptr) {
            B->parent = X;
        }
        X->left = C;
        if (C != nullptr) {
            C->parent = X;
        }
        
        if (par == nullptr) {
            m_root = Z;
        } else if (par->left == cur) {
            par->left = Z;
        } else {
            par->right = Z;
        }
        Z->parent = par;
        
        _getHeight(X);
        _getHeight(Y);
        _getHeight(Z);
        _getHeight(par);
    }
    
    void _doubleRotationRightLeft(TreeNode *cur) {
        // Subtree Z is deeper than subtree D. Single rotation won't work, so let's use this one instead.
        // Before rotation:
        //   X
        //  / 
        // A   Y
        //    / 
        //   Z   D
        //  / 
        // B   C
        // ----------
        // After rotation:
        //      Z
        //    /   
        //   X     Y
        //  /    / 
        // A   B C   D
        TreeNode *par = cur->parent;
        TreeNode *B, *C;
        TreeNode *X, *Y, *Z;
        
        X = cur;
        Y = X->right;
        Z = Y->left;
        B = Z->left;
        C = Z->right;
        
        Z->left = X;
        X->parent = Z;
        Z->right = Y;
        Y->parent = Z;
        X->right = B;
        if (B != nullptr) {
            B->parent = X;
        }
        Y->left = C;
        if (C != nullptr) {
            C->parent = Y;
        }
        
        if (par == nullptr) {
            m_root = Z;
        } else if (par->left == cur) {
            par->left = Z;
        } else {
            par->right = Z;
        }
        Z->parent = par;
        
        _getHeight(X);
        _getHeight(Y);
        _getHeight(Z);
        _getHeight(par);
    }
};

int main()
{
    AVLTree avl;
    
    // test for single rotation
    avl.insertNode(1);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.insertNode(2);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.insertNode(3);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.insertNode(4);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.insertNode(5);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.insertNode(6);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.insertNode(7);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.insertNode(8);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.insertNode(9);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    cout << endl;

    // test for double rotation
    avl.clear();
    avl.insertNode(3);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.insertNode(1);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.insertNode(2);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    cout << endl;

    // test for deletion, left
    avl.clear();
    avl.insertNode(3);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.insertNode(2);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.insertNode(4);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.insertNode(1);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.deleteNode(3);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.deleteNode(2);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.deleteNode(4);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    cout << endl;
    
    // test for deletion, right
    avl.clear();
    avl.insertNode(2);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.insertNode(1);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.insertNode(3);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.insertNode(4);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.deleteNode(2);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.deleteNode(1);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    avl.deleteNode(3);
    cout << avl.preorderTraversal() << endl;
    cout << endl;

    return 0;
}