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  • BZOJ2705: [SDOI2012]Longge的问题

    好吧,确实是个水题,但是网上的题解似乎都不怎么靠谱。

    首先我们可以用反演

    (egin{align*}ecause sum_{d|n} phi(d) &= n \ herefore Answer(N)&=sum_{i=1}^N gcd(i,N) \&=sum_{i=1}^N sum_{d|i}phi(d)\&=sum_{d|N} phi(d) imes frac{N}{d}end{align*} )

    但这样还不够,复杂度还是(O(N))的。

    我们可以看到,这其实是函数(f(x)=phi(x))与函数(g(x)=x)的狄利克雷卷积,又因为(f)与(g)都是积性函数,所以(Answer)函数也是积性函数。

    所以我们将(N)分解为(p_1^{k_1} imes p_1^{k_1} imesldots imes p_m^{k_m})

    对于每一个(p^k)直接根据公式计算就行了,这样总的复杂度就只有因式分解的(O(sqrt{N}))了(或许可以用其他神奇的算法再降下来呢~)。

     1 #include <iostream>
     2 #include <cstdio>
     3 #include <cstring>
     4 #include <algorithm>
     5 #include <cmath>
     6 using namespace std;
     7 typedef long long LL;
     8 LL N,p,k;//N=p^k
     9 inline LL calc()
    10 {
    11     LL ans=0;
    12     for(LL f=1,i=0,num=1;i<=k;i++,num*=p)
    13         ans+=f*N/num,f*=i?p:p-1;
    14     return ans;
    15 }
    16 int main(int argc, char *argv[])
    17 {
    18     LL Ans=1,n;cin>>n;
    19     for(LL i=2;i*i<=n;i++)
    20         if(n%i==0)
    21         {
    22             for(k=0,N=1;n%i==0;k++)n/=i,N*=i;
    23             p=i;Ans*=calc();
    24         }
    25     if(n>1)N=p=n,k=1,Ans*=calc();
    26     cout<<Ans<<endl;
    27     return 0;
    28 }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zhuohan123/p/3575709.html
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