什么是主席树
可持久化数据结构(Persistent data structure)就是利用函数式编程的思想使其支持询问历史版本、同时充分利用它们之间的共同数据来减少时间和空间消耗。
因此可持久化线段树也叫函数式线段树又叫主席树。
可持久化数据结构
在算法执行的过程中，会发现在更新一个动态集合时，需要维护其过去的版本。这样的集合称为是可持久的。
实现持久集合的一种方法时每当该集合被修改时，就将其整个的复制下来，但是这种方法会降低执行速度并占用过多的空间。
考虑一个持久集合S。
如图所示，对集合的每一个版本维护一个单独的根，在修改数据时，只复制树的一部分。
称之为可持久化数据结构。
可持久化线段树
令 T 表示一个结点，它的左儿子是 left(T)，右儿子是 right(T)。
若 T 的范围是 [L,R]，那么 left(T) 的范围是 [L,mid]，right(T) 的范围是 [mid+1,R]。
单点更新
我们要修改一个叶子结点的值，并且不能影响旧版本的结构。
在从根结点递归向下寻找目标结点时，将路径上经过的结点都复制一份。
找到目标结点后，我们新建一个新的叶子结点，使它的值为修改后的版本，并将它的地址返回。
对于一个非叶子结点，它至多只有一个子结点会被修改，那么我们对将要被修改的子结点调用修改函数，那么就得到了它修改后的儿子。
在每一步都向上返回当前结点的地址，使父结点能够接收到修改后的子结点。
在这个过程中，只有对新建的结点的操作，没有对旧版本的数据进行修改。
区间查询
从要查询的版本的根节点开始，像查询普通的线段树那样查询即可。
延迟标记
...
区间第K小值问题
有n个数，多次询问一个区间[L,R]中第k小的值是多少。
查询[1,n]中的第K小值
我们先对数据进行离散化，然后按值域建立线段树，线段树中维护某个值域中的元素个数。
在线段树的每个结点上用cnt记录这一个值域中的元素个数。
那么要寻找第K小值，从根结点开始处理，若左儿子中表示的元素个数大于等于K，那么我们递归的处理左儿子，寻找左儿子中第K小的数；
若左儿子中的元素个数小于K，那么第K小的数在右儿子中，我们寻找右儿子中第K-(左儿子中的元素数)小的数。
查询区间[L,R]中的第K小值
我们按照从1到n的顺序依次将数据插入可持久化的线段树中，将会得到n+1个版本的线段树（包括初始化的版本），将其编号为0~n。
可以发现所有版本的线段树都拥有相同的结构，它们同一个位置上的结点的含义都相同。
考虑第i个版本的线段树的结点P，P中储存的值表示[1,i]这个区间中，P结点的值域中所含的元素个数；
假设我们知道了[1,R]区间中P结点的值域中所含的元素个数，也知道[1,L-1]区间中P结点的值域中所包含的元素个数，显然用第一个个数减去第二个个数，就可以得到[L,R]区间中的元素个数。
因此我们对于一个查询[L,R]，同步考虑两个根root[L-1]与root[R]，用它们同一个位置的结点的差值就表示了区间[L,R]中的元素个数，利用这个性质，从两个根节点，向左右儿子中递归的查找第K小数即可。
POJ 2104 K-th Number (HDU 2665)
注意可持久化数据结构的内存开销非常大，因此要注意尽可能的减少不必要的空间开支。
1 const int maxn=100001; 2 struct Node{ 3 int ls,rs; 4 int cnt; 5 }tr[maxn*20]; 6 int cur,rt[maxn]; 7 void init(){ 8 cur=0; 9 } 10 inline void push_up(int o){ 11 tr[o].cnt=tr[tr[o].ls].cnt+tr[tr[o].rs].cnt; 12 } 13 int build(int l,int r){ 14 int k=cur++; 15 if (l==r) { 16 tr[k].cnt=0; 17 return k; 18 } 19 int mid=(l+r)>>1; 20 tr[k].ls=build(l,mid); 21 tr[k].rs=build(mid+1,r); 22 push_up(k); 23 return k; 24 } 25 int update(int o,int l,int r,int pos,int val){ 26 int k=cur++; 27 tr[k]=tr[o]; 28 if (l==pos&&r==pos){ 29 tr[k].cnt+=val; 30 return k; 31 } 32 int mid=(l+r)>>1; 33 if (pos<=mid) tr[k].ls=update(tr[o].ls,l,mid,pos,val); 34 else tr[k].rs=update(tr[o].rs,mid+1,r,pos,val); 35 push_up(k); 36 return k; 37 } 38 int query(int l,int r,int o,int v,int kth){ 39 if (l==r) return l; 40 int mid=(l+r)>>1; 41 int res=tr[tr[v].ls].cnt-tr[tr[o].ls].cnt; 42 if (kth<=res) return query(l,mid,tr[o].ls,tr[v].ls,kth); 43 else return query(mid+1,r,tr[o].rs,tr[v].rs,kth-res); 44 }
常数优化的技巧
一种在常数上减小内存消耗的方法：
插入值时候先不要一次新建到底，能留住就留住，等到需要访问子节点时候再建下去。
这样理论内存复杂度依然是O(Nlg^2N)，但因为实际上很多结点在查询时候根本没用到，所以内存能少用一些。
动态第K小值
每一棵线段树是维护每一个序列前缀的值在任意区间的个数，如果还是按照静态的来做的话，那么每一次修改都要遍历O(n)棵树，时间就是O(2*M*nlogn)->TLE。
考虑到前缀和，我们通过树状数组来优化，即树状数组套主席树，每个节点都对应一棵主席树，那么修改操作就只要修改logn棵树，O(nlognlogn+Mlognlogn)时间是可以的，但是直接建树要nlogn*logn（10^7）会MLE。
我们发现对于静态的建树我们只要nlogn个节点就可以了，而且对于修改操作，只是修改M次，每次改变俩个值（减去原先的，加上现在的）也就是说如果把所有初值都插入到树状数组里是不值得的，所以我们分两部分来做，所有初值按照静态来建，内存O(nlogn)，而修改部分保存在树状数组中，每次修改logn棵树，每次插入增加logn个节点O(M*logn*logn+nlogn)。
可用主席树解决的问题
POJ 2104 K-th Number
入门题，求区间第K小数。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 using namespace std; 6 const int maxn=100001; 7 struct Node{ 8 int ls,rs; 9 int cnt; 10 }tr[maxn*20]; 11 int cur,rt[maxn]; 12 void init(){ 13 cur=0; 14 } 15 inline void push_up(int o){ 16 tr[o].cnt=tr[tr[o].ls].cnt+tr[tr[o].rs].cnt; 17 } 18 int build(int l,int r){ 19 int k=cur++; 20 if (l==r) { 21 tr[k].cnt=0; 22 return k; 23 } 24 int mid=(l+r)>>1; 25 tr[k].ls=build(l,mid); 26 tr[k].rs=build(mid+1,r); 27 push_up(k); 28 return k; 29 } 30 int update(int o,int l,int r,int pos,int val){ 31 int k=cur++; 32 tr[k]=tr[o]; 33 if (l==pos&&r==pos){ 34 tr[k].cnt+=val; 35 return k; 36 } 37 int mid=(l+r)>>1; 38 if (pos<=mid) tr[k].ls=update(tr[o].ls,l,mid,pos,val); 39 else tr[k].rs=update(tr[o].rs,mid+1,r,pos,val); 40 push_up(k); 41 return k; 42 } 43 int query(int l,int r,int o,int v,int kth){ 44 if (l==r) return l; 45 int mid=(l+r)>>1; 46 int res=tr[tr[v].ls].cnt-tr[tr[o].ls].cnt; 47 if (kth<=res) return query(l,mid,tr[o].ls,tr[v].ls,kth); 48 else return query(mid+1,r,tr[o].rs,tr[v].rs,kth-res); 49 } 50 int b[maxn]; 51 int sortb[maxn]; 52 int main() 53 { 54 int n,m; 55 int T; 56 //scanf("%d",&T); 57 //while (T--){ 58 while (~scanf("%d%d",&n,&m)){ 59 init(); 60 for (int i=1;i<=n;i++){ 61 scanf("%d",&b[i]); 62 sortb[i]=b[i]; 63 } 64 sort(sortb+1,sortb+1+n); 65 int cnt=1; 66 for (int i=2;i<=n;i++){ 67 if (sortb[i]!=sortb[cnt]){ 68 sortb[++cnt]=sortb[i]; 69 } 70 } 71 rt[0]=build(1,cnt); 72 for (int i=1;i<=n;i++){ 73 int p=lower_bound(sortb+1,sortb+cnt+1,b[i])-sortb; 74 rt[i]=update(rt[i-1],1,cnt,p,1); 75 } 76 for (int i=0;i<m;i++){ 77 int a,b,k; 78 scanf("%d%d%d",&a,&b,&k); 79 int idx=query(1,cnt,rt[a-1],rt[b],k); 80 printf("%d ",sortb[idx]); 81 } 82 } 83 return 0; 84 }
SPOJ 3267 D-query
求区间内不重复的数的个数。
扫描数列建立可持久化线段树，第i个数若第一次出现，则在线段树中的位置i加1；若不是第一次出现，将上次出现的位置减1，在本次位置加1。
对于每个询问的区间 [L,R]，在第R个版本上的线段树只有前R个数，在线段树上查询位置L，对经过的区间中的和进行累计即可。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 #include <map> 6 using namespace std; 7 const int maxn=100001; 8 struct Node{ 9 int ls,rs; 10 int cnt; 11 }tr[maxn*20]; 12 int cur,rt[maxn]; 13 void init(){ 14 cur=0; 15 } 16 inline void push_up(int o){ 17 tr[o].cnt=tr[tr[o].ls].cnt+tr[tr[o].rs].cnt; 18 } 19 int build(int l,int r){ 20 int k=cur++; 21 if (l==r) { 22 tr[k].cnt=0; 23 return k; 24 } 25 int mid=(l+r)>>1; 26 tr[k].ls=build(l,mid); 27 tr[k].rs=build(mid+1,r); 28 push_up(k); 29 return k; 30 } 31 int update(int o,int l,int r,int pos,int val){ 32 int k=cur++; 33 tr[k]=tr[o]; 34 if (l==pos&&r==pos){ 35 tr[k].cnt+=val; 36 return k; 37 } 38 int mid=(l+r)>>1; 39 if (pos<=mid) tr[k].ls=update(tr[o].ls,l,mid,pos,val); 40 else tr[k].rs=update(tr[o].rs,mid+1,r,pos,val); 41 push_up(k); 42 return k; 43 } 44 int query(int l,int r,int o,int pos){ 45 if (l==r) return tr[o].cnt; 46 int mid=(l+r)>>1; 47 if (pos<=mid) return tr[tr[o].rs].cnt+query(l,mid,tr[o].ls,pos); 48 else return query(mid+1,r,tr[o].rs,pos); 49 } 50 int b[maxn]; 51 map<int,int> mp; 52 int main() 53 { 54 int n,m; 55 //int T; 56 //scanf("%d",&T); 57 //while (T--){ 58 while (~scanf("%d",&n)){ 59 mp.clear(); 60 init(); 61 for (int i=1;i<=n;i++){ 62 scanf("%d",&b[i]); 63 } 64 rt[0]=build(1,n); 65 for (int i=1;i<=n;i++){ 66 if (mp.find(b[i])==mp.end()){ 67 mp[b[i]]=i; 68 rt[i]=update(rt[i-1],1,n,i,1); 69 } 70 else{ 71 int tmp=update(rt[i-1],1,n,mp[b[i]],-1); 72 rt[i]=update(tmp,1,n,i,1); 73 } 74 mp[b[i]]=i; 75 } 76 scanf("%d",&m); 77 for (int i=0;i<m;i++){ 78 int a,b; 79 scanf("%d%d",&a,&b); 80 int ans=query(1,n,rt[b],a); 81 printf("%d ",ans); 82 } 83 } 84 return 0; 85 }