题链：
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1492
题解：
斜率优化DP，CDQ分治
定义$DP[i]$为第i天结束后的最大收益。
由于题目给了良心的提示，转移就比较明显了：
令 $X_j，Y_j$ 分别表示用第j天的最大收益去全部买票，得到的A，B票的数量，
那么转移如下：
$DP[i]=min(X_jA_i+Y_jB_i)quad(j<i)$ 第j天买的票在第i天全部卖出
$DP[i]=min(DP[i],DP[i-1])$ 不做任何交易，直接继承上一天的答案。
显然这个转移是 $O(N^2)$ 的。
（另外，$X_j=frac{DP[j]R_j}{A_jR_j+B_j}，Y_j=frac{DP[j]}{A_jR_j+B_j}$）
然后考虑优化，比如从j位置转移到i位置：
$DP[i]=X_jA_i+Y_jB_i$，可以化为以下形式：
$mathbf{Y_j=-frac{A_i}{B_i}X_j+frac{DP[i]}{B_i}}$
现在在来看看这个式子，由于$A_i，B_i$都是确定的正数，可以考虑为常量，
如果把转移来源点$(X_j,Y_j)$都看成第一象限的点，
那么此时问题变为：
已知的斜率 $k=-frac{A_i}{B_i}$，找到平面中的一个点，使得过该点的斜率为$k$的直线的纵截距最大。
怎样维护比较快捷呢？
做法是对这些点维护一个上凸壳，那么对于任何斜率$k$，使得纵截距最大的点一定在这个凸壳的顶点上。
即凸壳内部的点永远不可能贡献答案。
证明如下：
以上是第一种情况，下面再来看看内部的点与顶点的x不相同的情况。
先来看一个结论：
那么现在在来看看凸壳：
所以以上证明了使得纵截距最大的点一定在凸壳上。
到目前为止，我们的做法就是：
对于当前计算的DP[i]，把i的来源点j看成平面上的点，然后对这些点维护好一个上凸壳。
然后在凸壳上找到一个点使得过该点，且斜率为$k=-frac{A_i}{B_i}$时的直线的纵截距最大。
关键点：
1.要注意DP转移的顺序，即只能从前面转移到后面。
2.维护好转移来源点的上凸壳。
由于Xi不随着i单增，所以不能一边从左枚举到右，一边O(1)插入一个新点并维护好凸壳。
同时询问不单调，所以不能直接像某些斜率优化的题一样用一个单调队列维护。
方法有两种：
1.CDQ分治：$O(Nlog_2N)$
分治的每一层，对于l~mid的点维护好一个凸壳，
然后mid+1~r点按$-frac{A_i}{B_i}$从大到小排好序，然后扫一遍凸壳给mid+1～r的点贡献答案。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAXN 100500
using namespace std;
const double eps=1e-10;
double A[MAXN],B[MAXN],R[MAXN];
double X[MAXN],Y[MAXN],DP[MAXN];
int h[MAXN],N;
int sign(double x){
if(-eps<=x&&x<=eps) return 0;
return x>eps?1:-1;
}
bool cmp(int i,int j){
return sign(-A[i]/B[i]-(-A[j]/B[j]))>0;
}
bool cmp2(int i,int j){
return sign(X[i]-X[j])<0;
}
struct Moque{//斜率单调递减的上凸壳
int q[MAXN],l,r;
void Reset(){l=1;r=0;}
#define Slope(i,j) ((Y[i]-Y[j])/(X[i]-X[j]))
void Push(int i){
if(l<=r&&sign(X[i]-X[q[r]])==0)
{if(sign(Y[i]-Y[q[r]])>0) r--;else return;}
while(l+1<=r&&sign(Slope(i,q[r])-Slope(q[r],q[r-1]))>=0) r--;
q[++r]=i;
}
int Query(int i){
while(l+1<=r&&sign(Slope(q[l],q[l+1])-(-A[i]/B[i]))>0) l++;
return q[l];
}
}Q;
void solve(int l,int r){
static double MAXDP=0;
static int tmp[MAXN],cl,cr,p;
if(l==r){
Y[h[l]]=DP[h[l]]/(A[h[l]]*R[h[l]]+B[h[l]]);
X[h[l]]=Y[h[l]]*R[h[l]];
return;
}
int mid=(l+r)>>1; cl=l; cr=mid+1;
for(int i=l;i<=r;i++)
if(h[i]<=mid) tmp[cl++]=h[i];
else tmp[cr++]=h[i];
for(int i=l;i<=r;i++) h[i]=tmp[i];
solve(l,mid); Q.Reset();
for(int i=l;i<=mid;i++) Q.Push(h[i]),MAXDP=max(MAXDP,DP[h[i]]);
for(int i=mid+1,j;i<=r;i++){
j=Q.Query(h[i]);
DP[h[i]]=max(DP[h[i]],MAXDP);
DP[h[i]]=max(DP[h[i]],X[j]*A[h[i]]+Y[j]*B[h[i]]);
}
solve(mid+1,r); cl=l; cr=mid+1; p=l;
while(cl<=mid||cr<=r){
if(cl>mid) tmp[p]=h[cr],cr++;
else if(cr>r||sign(X[h[cl]]-X[h[cr]])<0) tmp[p]=h[cl],cl++;
else tmp[p]=h[cr],cr++; p++;
}
for(int i=l;i<=r;i++) h[i]=tmp[i];
}
int main(){
scanf("%d%lf",&N,&DP[1]);
for(int i=1;i<=N;i++)
h[i]=i,scanf("%lf%lf%lf",&A[i],&B[i],&R[i]);
// printf("happy
");
sort(h+2,h+N+1,cmp);
solve(1,N);
// for(int i=1;i<=N;i++)
printf("%.3lf
",DP[N]);
return 0;
}
2.Splay：$O(Nlog_2N)$
动态维护好凸壳并直接log级别询问的最优转移点即可，Splay要支持单点插入，区间删除。
（感觉凸壳和Splay搭在一起好奇妙（恶心），本来以为有1mol需要特判的东西，结果由于凸壳的特殊，都不用特判了。。。）
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAXN 100500
using namespace std;
const double eps=1e-10;
double A[MAXN],B[MAXN],R[MAXN];
double X[MAXN],Y[MAXN],DP[MAXN];
int N;
int sign(double x){
if(-eps<=x&&x<=eps) return 0;
return x>eps?1:-1;
}
struct SPT{
#define Slope(i,j) ((Y[i]-Y[j])/(X[i]-X[j]))
int ch[MAXN][2],fa[MAXN],pre[MAXN],suf[MAXN],d[MAXN],sz,rt,t1,t2;
void Rotate(int x,int &k){
static int y,z,ll,rr;
y=fa[x]; z=fa[y];
ll=ch[y][0]!=x; rr=ll^1;
if(!z) k=x; else ch[z][ch[z][0]!=y]=x;
fa[ch[x][rr]]=y; fa[y]=x; fa[x]=z;
ch[y][ll]=ch[x][rr]; ch[x][rr]=y;
}
void Splay(int x,int &k){
static int y,z;
while(x!=k){
y=fa[x]; z=fa[y];
if(y!=k) ((ch[y][0]!=x)^(ch[z][0]!=y))?
Rotate(x,k):Rotate(y,k);
Rotate(x,k);
}
}
int Insert(int &x,int dad,int i,int l,int r){//l，r维护新插入点的前驱后继
if(!x){
x=++sz; fa[x]=dad; d[x]=i;
suf[l]=x; pre[x]=l; suf[x]=r; pre[r]=x;
Splay(x,rt); return sz;
}
if(sign(X[i]-X[d[x]])==0){//发现横坐标相同的点
if(sign(Y[i]-Y[d[x]])>0){//留下纵坐标大的
d[x]=i; Splay(x,rt); return x;
}
else return 0;//舍去纵坐标小的
}
if(sign(X[i]-X[d[x]])<0) return Insert(ch[x][0],x,i,l,x);
else return Insert(ch[x][1],x,i,x,r);
}
void Findpre(int x,int i){
if(!x) return;
if(pre[x]){
if(sign(Slope(i,d[x])-Slope(d[x],d[pre[x]]))>0)
t1=x,Findpre(ch[x][0],i);
else Findpre(ch[x][1],i);
}
}
void Findsuf(int x,int i){
if(!x) return;
if(suf[x]){
if(sign(Slope(d[suf[x]],d[x])-Slope(d[x],i))>0)
t2=x,Findsuf(ch[x][1],i);
else Findsuf(ch[x][0],i);
}
}
int Split(int ll,int rr){
Splay(ll,rt);
Splay(rr,ch[rt][1]);
return ch[rr][0];
}
void Delete(int ll,int rr){//删除开区间(ll,rr)
static int p;
p=Split(ll,rr);
if(!p) return;
ch[rr][0]=0; fa[p]=0;
suf[ll]=rr; pre[rr]=ll;//维护好前驱后继
}
void Push(int i){
static int p;
p=Insert(rt,0,i,0,0);//插入后，被旋转到根
if(!p) return;
if(pre[p]&&suf[p]&&sign(Slope(d[suf[p]],d[p])-Slope(d[p],d[pre[p]]))>0){//判断是否在凸壳内，是的话就删除并退出
Delete(pre[p],suf[p]);
return;
}
t1=t2=0;//以下维护凸壳
Findpre(ch[rt][0],i);
Findsuf(ch[rt][1],i);
if(t1) t1=pre[t1],Delete(t1,p);
if(t2) t2=suf[t2],Delete(p,t2);
}
int Query(double w){
static int x; x=rt;
while(x){
if(pre[x]&&sign(Slope(d[x],d[pre[x]])-w)<0) x=ch[x][0];
else if(suf[x]&&sign(Slope(d[suf[x]],d[x])-w)>0) x=ch[x][1];
else break;
}
return d[x];
}
}DT;
int main(){
freopen("cash.in","r",stdin);
freopen("cash.out","w",stdout);
scanf("%d%lf",&N,&DP[1]);
for(int i=1;i<=N;i++)
scanf("%lf%lf%lf",&A[i],&B[i],&R[i]);
Y[1]=DP[1]/(A[1]*R[1]+B[1]); X[1]=Y[1]*R[1];
DT.Push(1);
for(int i=2,j;i<=N;i++){
j=DT.Query(-A[i]/B[i]);
DP[i]=max(DP[i-1],X[j]*A[i]+Y[j]*B[i]);
Y[i]=DP[i]/(A[i]*R[i]+B[i]); X[i]=Y[i]*R[i];
DT.Push(i);
}
//for(int i=1;i<=N;i++)
printf("%.3lf
",DP[N]);
return 0;
}