RMQ总结

       以下摘自刘汝佳大神的《训练指南》。范围最小值问题（Range Minimum/Maximum Query,RMQ）。给出一个n个元素的数组A1,A2……An，设计一个数据结构，支持查询操作Query(L,R):计算min{A(L),A(L+1),……,A(R)}

       Sparse-Table算法能够很好的解决这个问题，它的预处理时间是O(nlogn)，但是查询只需要O(1),而且常数很小。最重要的是，这个算法非常好写，并且不易写错。

       令d[i,j)表示从i开始的，长度为2^j的一段元素中的最小值，则可以用递推的方法计算d(i,j):d(i,j)=min{d(i,j-1),d(i+2^{j – 1},j-1)}。注意2^j<=n,因此d数组元素的个数不超过nlogn，而每一项都可以在常数时间计算完毕，故总时间为O(nlogn)。代码如下。

void RMQ_init()
{
    int i,j;
    for(i=0; i<n; i++)
        d[i][0]=a[i];
    for(j=1; (1<<j)<=n; j++)
        for(i=0; i+(1<<j)-1<n; i++)
            d[i][j]=max(d[i][j-1],d[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}

查询操作很简单，令k为满足2^k<=R-L+1的最大整数，则以L开头、以R结尾的两个长度为2^k的区间合起来即覆盖了查询区间[L,R]。由于是取最小值，有些元素重复考虑了几遍也没关系。

查询代码如下。

int RMQ(int L,int R)
{
    int k=0;
    while((1<<(k+1))<=R-L+1) k++;
    return min(d[L][k],d[R-(1<<k)+1][k]);
}

  

POJ3264 Balanced Lineup

题目大意

给定一个序列A₁,A₂,…A_n-1,A_n。并给出一些查询，对于每次查询(L,R)，要求你返回序列[L,R]中最小值与最大值的差

题解

赤裸裸的RMQ。。。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAXN 50005
using namespace std;
int a[MAXN],n;
int ma[MAXN][20],mi[MAXN][20];
void RMQ_init()
{
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
         ma[i][0]=a[i];
         mi[i][0]=a[i];
    }
    for(j=1;(1<<j)<=n;j++)
    for(i=0;i+(1<<j)-1<n;i++)
    {
        ma[i][j]=max(ma[i][j-1],ma[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        mi[i][j]=min(mi[i][j-1],mi[i+(1<<(j-1))][j-1]);
    }
}
int RMQ(int L,int R)
{
    int k=0;
    while((1<<(k+1))<=(R-L+1)) k++;
    return max(ma[L][k],ma[R-(1<<k)+1][k])-min(mi[L][k],mi[R-(1<<k)+1][k]);
}
int main(void)
{
    int i,Q,l,r;
    memset(mi,0,sizeof(mi));
    memset(ma,0,sizeof(ma));
    scanf("%d%d",&n,&Q);
    for(i=0;i<n;i++)
    scanf("%d",&a[i]);
    RMQ_init();
    while(Q--)
    {
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d\n",RMQ(l-1,r-1));
    }
    return 0;
}

POJ2019 Cornfields

题目大意

给定一个大小为N*N矩阵，给出一些查询，对于每次查询(x,y)，要求你返回以左下角(x,y)开始的长宽都为B的子矩阵中的最大值与最小值的差

题解

最标准的二维RMQ

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAXN 255
using namespace std;
int Min[MAXN][MAXN][9][9],Max[MAXN][MAXN][9][9],a[MAXN][MAXN];
int n;
void init_RMQ()
{
    int i,j,ii,jj;
    for(i=1; i<=n; i++)
        for(j=1; j<=n; j++)
        {
            Min[i][j][0][0]=a[i][j];
            Max[i][j][0][0]=a[i][j];
        }
    for(j=0; (1<<j)<=n; j++)
        for(jj=0; (1<<jj)<=n; jj++)
        {
            if(j==0&&jj==0) continue;
            for(i=1; i+(1<<j)-1<=n; i++)
                for(ii=1; ii+(1<<jj)-1<=n; ii++)
                {
                    if(j==0)
                    {
                        Min[i][ii][j][jj]=min(Min[i][ii][j][jj-1],Min[i][ii+(1<<(jj-1))][j][jj-1]);
                        Max[i][ii][j][jj]=max(Max[i][ii][j][jj-1],Max[i][ii+(1<<(jj-1))][j][jj-1]);
                    }
                    else
                    {
                        Min[i][ii][j][jj]=min(Min[i+(1<<(j-1))][ii][j-1][jj],Min[i][ii][j-1][jj]);
                        Max[i][ii][j][jj]=max(Max[i+(1<<(j-1))][ii][j-1][jj],Max[i][ii][j-1][jj]);
                    }
                }
        }
}
int RMQ(int L1,int R1,int L2,int R2)
{
    int k=0,max1,max2,min1,min2;
    while(1<<(k+1)<=L2-L1+1) k++;
    max1=max(Max[L1][R1][k][k],Max[L2-(1<<k)+1][R1][k][k]);
    max2=max(Max[L1][R2-(1<<k)+1][k][k],Max[L2-(1<<k)+1][R2-(1<<k)+1][k][k]);
    min1=min(Min[L1][R1][k][k],Min[L2-(1<<k)+1][R1][k][k]);
    min2=min(Min[L1][R2-(1<<k)+1][k][k],Min[L2-(1<<k)+1][R2-(1<<k)+1][k][k]);
    return max(max1,max2)-min(min1,min2);
}
void init()
{
    int i,k,j,b,x,y;
    while(scanf("%d%d%d",&n,&b,&k)!=EOF)
    {
        for(i=1; i<=n; i++)
            for(j=1; j<=n; j++)
                scanf("%d",&a[i][j]);
        init_RMQ();
        while(k--)
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            printf("%d\n",RMQ(x,y,x+b-1,y+b-1));
        }
    }
}
int main(void)
{
    init();
    return 0;
}