实变函数论
第二章 Lebesgue测度
2.1 点集的Lebesgue外测度
定义2.1 设
，若
是
中可数个开矩体，且有
则称
为E的一个L-覆盖。我们称
为点集
的Lebesgue外测度。若
的任意的L-覆盖
均有
则
，否则
定理2.1 
中点集的外测度性质
（1）非负性：
（2）单调性：若
（3）次可加性：
2.2 可测集与测度
定义2.2 设
。若对任意的点集
，有
则称E为Lebesgue可测集，简称为可测集，其中
称为试验集
注：
（1）在证明时，我们只需要对任一点集
，证明
即可
（2）外测度为零的点集称为零测集。
定理2.6 可测集的性质
（1）
（2）若
（3）若
，则
都属于
（4）若
，则其并集也属于
，若进一步
，则
即
在
上满足可数可加性（或称为
）
注
从定理的结论（1）（2）（4）可知，
中可测集类构成一个
代数。对于可测集
，其外测度称为测度，记为
，这就是通常所说的
上的Lebesgue测度。
第三章 可测函数
3.1 可测函数的定义及其性质
定义3.1 设
是定义在可测集
上的广义实值函数。若对于任意的实数
，点集
是可测集，则称
是
上的可测函数，或称
在
上可测
定理3.4 可测函数的运算性质：若
是
上的实值可测函数，则下列函数
（1）
（2）
（3）
都是
上的可测函数。
定理3.6 可测函数的运算性质：若
是
上的可测函数列，则下列函数
（1）
（2）
（3）
（4）
都是
上的可测函数。
3.2 可测函数列的收敛
几乎处处收敛与一致收敛
定义3.5 设
是定义在点集
上的广义实值函数。若存在
中的点集
，有
及
则称
在
上几乎处处收敛于
，并简记为
注 一致收敛：令
是一个函数列，并且，对于任意的
，存在
，使得当
时，
成立，则称
一致收敛到
，写作
几乎处处收敛与依测度收敛
定义3.6 设
是
上几乎处处有限的可测函数，若对任意的
，有
则称
在
上依测度收敛于
3.3 可测函数与连续函数
第四章 Lebesgue积分
非负可测函数的积分
定义4.1 设
是
上的非负可测简单函数，它在点集
上取值为
：
