51nod1079 poj2891 中国剩余定理与其扩展

题目链接：http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1079

一个正整数K，给出K Mod 一些质数的结果，求符合条件的最小的K。例如，K % 2 = 1, K % 3 = 2, K % 5 = 3。符合条件的最小的K = 23。

收起

 

输入

第1行：1个数N表示后面输入的质数及模的数量。（2 <= N <= 10)
第2 - N + 1行，每行2个数P和M，中间用空格分隔，P是质数，M是K % P的结果。（2 <= P <= 100, 0 <= K < P)

输出

输出符合条件的最小的K。数据中所有K均小于10^9。

输入样例

3
2 1
3 2
5 3

输出样例

23

解题思路：中国剩余定理模板题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
ll n,a[100005],m[100005];
//ax+by=gcd(a,b);
//x=y1,y=x1-a/b*y1;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y,ll &c)
{
    if(!b){
        x=1; y=0; c=a;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x,c);
    y-=a/b*x;
}
ll China()
{
    ll x,y,c,lcm=1,ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        lcm*=m[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        exgcd(lcm/m[i],m[i],x,y,c);
        x=(x%m[i]+m[i])%m[i];
        ans=(ans+x*lcm/m[i]*a[i])%lcm;
    }
    return (ans+lcm)%lcm;
}
int main()
{
    while(cin>>n){
        for(int i=1;i<=n;i++)cin>>m[i]>>a[i];
        cout<<China()<<endl;
    }
    return 0;
}

题目链接：http://poj.org/problem?id=2891

给定 2n2n 个正整数 a_1,a_2,cdots ,a_na1​,a2​,⋯,an​ 和 m_1,m_2,cdots ,m_nm1​,m2​,⋯,mn​，求一个最小的正整数 xx，满足 forall iin[1,n],xequiv a_i (mod m_i )∀i∈[1,n],x≡ai​ (modmi​ )，或者给出无解。

输入格式

多组数据。

每组数据第一行一个整数 nn；
接下来 nn 行，每行两个整数 m_i,a_imi​,ai​。

输出格式

对于每组数据，若无解，输出 -1−1；否则输出一个非负整数，若有多解，输出最小的满足条件的答案。

样例

样例输入

2
8 7
11 9

样例输出

31

数据范围与提示

对于全部数据，所有的输入都是非负的，并且可以用 6464 位有符号整数表示。保证 1le nle 10^5,m_igt a_i1≤n≤105,mi​>ai​。

解题思路：这种是一般情形，需要用扩展中国剩余定理。

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
ll n,a[100005],m[100005];
//ax+by=gcd(a,b);
//x=y1,y=x1-a/b*y1;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y,ll &c)
{
    if(!b){
        x=1; y=0; c=a;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x,c);
    y-=a/b*x;
}
ll inv(ll a,ll b)
{
    ll x,y,c;
    exgcd(a,b,x,y,c);
    x=(x%(b/c)+(b/c))%(b/c);
    return x;
}
ll exCRT()
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        ll m1=m[i-1],m2=m[i],a1=a[i-1],a2=a[i],c=gcd(m1,m2);
        if((a2-a1)%c!=0)return -1;
        m[i]=m1*m2/c;
        a[i]=(inv(m1/c,m2/c)*(a2-a1)/c)%(m2/c)*m1+a1;
        a[i]=(a[i]%m[i]+m[i])%m[i];
    }
    return a[n];
}
int main()
{
    while(cin>>n){
        for(int i=1;i<=n;i++)cin>>m[i]>>a[i];
        cout<<exCRT()<<endl;
    }
    return 0;
}