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  • 树的重心(模板)

    代码定义:的重心也叫的质心。对于一棵树n个节点的无根树,找到一个点,使得把树变成以该点为根的有根树时,最大子树的结点数最小。换句话说,删除这个 [1]  点后最大连通块(一定是树)的结点数最小。

    性质:

    1. 树中所有点到某个点的距离和中,到重心的距离和是最小的,如果有两个距离和,他们的距离和一样。
    2. 把两棵树通过一条边相连,新的树的重心在原来两棵树重心的连线上。
    3. 一棵树添加或者删除一个节点,树的重心最多只移动一条边的位置。
    4. 一棵树最多有两个重心,且相邻。

    算法分析:

    和树的最大独立问题类似,先任选一个结点作为根节点,把无根树变成有根树,然后设d(i)表示以i为根的子树的结点的个数。不难发现d(i)=∑d(j)+1,j∈s(i)。s(i)为i结点的所有儿子结点的编号的集合。程序也十分简单:只需要DFS一次,在无根树有根数的同时计算即可,连记忆化都不需要——因为本来就没有重复计算。
    那么,删除结点i后,最大的连通块有多少个呢?结点i的子树中最大有max{d(j)}个结点,i的“上方子树”中有n-d(i)个结点

    代码:

    #include<iostream>
    #include<vector>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int maxn=200005;
    vector<int> tree[maxn];
    int n,minNode,minBalance;
    //minNode当前重心节点
    //minBalance当前重心节点的最大子树节点个数 
    int d[maxn];
    //d[i]表示以i为根的子树节点个数 
    void dfs(int u,int fa){
        d[u]=1; //节点本身 
        int maxSub=0,size=tree[u].size(); //maxSub为节点u的最大子树节点个数 
        for(int i=0;i<size;i++){
            int v=tree[u][i];
            if(v!=fa){
                dfs(v,u);
                d[u]+=d[v];
                maxSub=max(maxSub,d[v]);
            }
        }
        maxSub=max(maxSub,n-d[u]);
        if(maxSub<minBalance){
            minNode=u;
            minBalance=maxSub;
        }
    }
    int main(){
        int t;
        cin>>t;
        while(t--){
            cin>>n;
            for(int i=1;i<=n;i++) tree[i].clear();
            memset(d,0,sizeof(d));
            for(int i=1;i<n;i++){
                int u,v;
                cin>>u>>v;
                tree[u].push_back(v);
                tree[v].push_back(u);
            }
            minNode=0; minBalance=0x3f3f3f3f;
            dfs(1,0);
            printf("%d %d
    ",minNode,minBalance);
        }
        return 0;
    } 
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zjl192628928/p/11155816.html
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