Leetcode 312. [312] 戳气球 动态规划

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=312 lang=cpp
 *
 * [312] 戳气球
 *
 * https://leetcode-cn.com/problems/burst-balloons/description/
 *
 * algorithms
 * Hard (67.72%)
 * Likes:    715
 * Dislikes: 0
 * Total Accepted:    45.1K
 * Total Submissions: 66.6K
 * Testcase Example:  '[3,1,5,8]'
 *
 * 有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。
 * 
 * 现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。 这里的 i
 * - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。
 * 
 * 求所能获得硬币的最大数量。
 * 
 * 
 * 示例 1：
 * 
 * 
 * 输入：nums = [3,1,5,8]
 * 输出：167
 * 解释：
 * nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
 * coins =  3*1*5    +   3*5*8   +  1*3*8  + 1*8*1 = 167
 * 
 * 示例 2：
 * 
 * 
 * 输入：nums = [1,5]
 * 输出：10
 * 
 * 
 * 
 * 
 * 提示：
 * 
 * 
 * n == nums.length
 * 1 
 * 0 
 * 
 * 
 */

思路：

labuladong

难点在于定于dp数组以及如何进行选择

这里需要对问题进行一个简单地转化。题目说可以认为nums[-1] = nums[n] = 1，那么我们先直接把这两个边界加进去

那么我们可以改变问题：在一排气球points中，请你戳破气球0和气球n+1之间的所有气球（不包括0和n+1），使得最终只剩下气球0和气球n+1两个气球，最多能够得到多少分？

现在可以定义dp数组的含义：

dp[i][j] = x表示，戳破气球i和气球j之间（开区间，不包括i和j）的所有气球，可以获得的最高分数为x。

那么根据这个定义，题目要求的结果就是dp[0][n+1]的值，而 base case 就是dp[i][j] = 0，其中0 <= i <= n+1, j <= i+1，因为这种情况下，开区间(i, j)中间根本没有气球可以戳。

i和j就是两个「状态」，最后戳破的那个气球k就是「选择」。

根据刚才对dp数组的定义，如果最后一个戳破气球k，dp[i][j]的值应该为：

dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k][j] 
         + points[i]*points[k]*points[j]

你不是要最后戳破气球k吗？那得先把开区间(i, k)的气球都戳破，再把开区间(k, j)的气球都戳破；最后剩下的气球k，相邻的就是气球i和气球j，这时候戳破k的话得到的分数就是points[i]*points[k]*points[j]。

那么戳破开区间(i, k)和开区间(k, j)的气球最多能得到的分数是多少呢？嘿嘿，就是dp[i][k]和dp[k][j]，这恰好就是我们对dp数组的定义嘛！

由于是开区间，dp[i][k]和dp[k][j]不会影响气球k；而戳破气球k时，旁边相邻的就是气球i和气球j了，最后还会剩下气球i和气球j，这也恰好满足了dp数组开区间的定义。

那么，对于一组给定的i和j，我们只要穷举i < k < j的所有气球k，选择得分最高的作为dp[i][j]的值即可，这也就是状态转移方程：

// 最后戳破的气球是哪个？
for (int k = i + 1; k < j; k++) {
    // 择优做选择，使得 dp[i][j] 最大
    dp[i][j] = Math.max(
        dp[i][j], 
        dp[i][k] + dp[k][j] + points[i]*points[j]*points[k]
    );
}

对于任一dp[i][j]，我们希望所有dp[i][k]和dp[k][j]已经被计算，画在图上就是这种情况：

 

class Solution {
public:
    int maxCoins(vector<int>& nums) {
        int n=nums.size();
        nums.insert(nums.begin(),1);
        nums.push_back(1);
        vector<vector<int>> dp(n+2,vector<int>(n+2,0));
        for(int i=n;i>=0;--i){
            for(int j=i+1;j<n+2;++j){
                for(int k=i+1;k<j;++k){
                    int temp=dp[i][k]+nums[i]*nums[k]*nums[j]+dp[k][j];
                    dp[i][j]=max(dp[i][j],temp);
                }
            }
        }
        return dp[0][n+1];
    }
};