最小生成树 普里姆算法

题目来源  POJ2349

在介绍什么是最小生成树之前先介绍什么是加权图

在之前已经默认了解了无向图（并查集）以及有向无环图（拓扑排序），那么最小生成树可以理解是一个加权的无向图，那么我们要坐的就是在这个无向图中间找出一条路径，使这条路径可以连接所有的结点，并且在所有的情况中，该路径的权值和最小，这一条路径我们称之为最小生成树。（注意一定要区别开最短路）

普里姆算法

简单的说就是从起点开始，不断的从所有点中选出能到达集合V（即为MST的顶点的集合）的最小权值的点，直到这个集合包含了所有的节点，也就是一个贪心过程，集合V指的就是已经被选入为最小生成树的点的集合。

下面看这个题目

首先简单说一下题意，有S个哨所，为了让这S个哨所可以互相联络，有两种方式，一种是通过卫星，这一种比较高级（任意两个拥有卫星频道的哨所可以直接联系，不用管之间的位置关系如何），但是卫星频道只有P个，还有一种就比较低级，就是通过无线电收发器，每个无线电收发器都有限制距离D，D越大，成本越高，也就是说两个哨所越远，就需要功率越大的无线电收发器，那么问题就是求需要的最小的D是多少才能把所有哨所都连接起来（直接或间接）。

理解题意之后我们不难发现，该题的思路就是找到最小生成树，然后并输出权值最长的边就可以了（删去卫星频道之后），每条边的权值即为两点之间的距离。

首先我们需要建图，这里用的是邻接矩阵来建图，但是在普里姆算法中，遍历图的所有顶点来确定D最小的顶点复杂度为O(|V|²)

接下来是代码以及相应的注释

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
using namespace std;
static const double INFTY=(1<<21);
static const int BLACK=2;//选定的状态
static const int GRAY=1;//候选的状态
static const int WHITE=0;//为选择的状态
struct stu{int x,y;}len[505];
double dis[505][505];//存两点之间的距离
double d[50000];//记录与V连接的顶点的边的最小权值
int calor[505];//记录V的访问状态
int p[505];//记录MST中顶点v的父节点
double minv;
priority_queue<double> q;
int main()
{
    //freopen("C:\Users\16599\Desktop\in.txt","r",stdin);
    int T,u;
    int weixin,state;
    cin>>T;
    for(int l=1;l<=T;l++)
    {
        memset(dis,0,sizeof(dis));
        memset(calor,WHITE,sizeof(calor));
        memset(p,-1,sizeof(p));
        cin>>weixin>>state;
        for(int i=1;i<=state;i++)
            cin>>len[i].x>>len[i].y;
    for(int i=1;i<state;i++)
        for(int j=i+1;j<=state;j++)
            dis[i][j]=dis[j][i]=sqrt((len[j].x-len[i].x)*(len[j].x-len[i].x)+(len[j].y-len[i].y)*(len[j].y-len[i].y));
            for(int i=1;i<=state;i++)
                d[i]=INFTY;//建图的过程
            d[1]=0;//选定起点
    while(true)
    {
        minv=INFTY;
        u=-1;
        for(int i=1;i<=state;i++)//找到连接集合V权值最小的点
        {
            if(minv>d[i]&&calor[i]!=BLACK)
            {
                u=i;
                minv=d[i];
                //cout<<minv<<"  "<<i<<endl;
            }
        }
        if(u==-1)//MST已建成，结束
        {
            break;
        }
        calor[u]=BLACK;//将选好的点加入到V中
        for(int v=1;v<=state;v++)//更新连接V的所有点的状态以及最小权值
        {
            if(calor[v]!=BLACK&&dis[u][v]!=INFTY)
            {
                if(d[v]>dis[u][v])
                {
                    d[v]=dis[u][v];
                    p[v]=u;
                    calor[v]=GRAY;
                }
            }
        }
        while(!q.empty())//更新MST
            q.pop();
            for(int i=1;i<=state;i++)
                if(p[i]!=-1)
                    q.push(dis[i][p[i]]);
    }
    while(1)
    {
        if(weixin==1)
            break;
        weixin--;
        q.pop();
    }
    cout<<fixed<<setprecision(2)<<q.top()<<endl;
    }
    return 0;
}