GCD + 素数＋快速幂

1.欧几里得算法

求解最大公约数，时间复杂度在O(log max(a,b))以内，可以看出，辗转相除法是非常高效的

int gcd(int a,int b)
{
    return (b==0)?a:gcd(b,a%b);
}

2.扩展欧几里得算法

求解方程a*x+b*y=gcd(a,b)，a、b、x、y均为整数，时间复杂度和辗转相除法是相同的，函数返回gcd(a,b)。

int gcd(int a,int b)
{
    return (b==0)?a:gcd(b,a%b);
}
int extgcd(int a,int b,int& x,int& y)
{
    int d=a;
    if(b!=0){
        d=extgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x;
    }
    else{
        x=1;
        y=0;
    }
    return d;
}

3.素数测试

//素性测试O(√n)
bool is_prime(int n)
{
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0) return false;
    }
    return n!=1;//n等于1是例外
}
//约数枚举O(√n)
vector<int> divisor(int n)
{
    vector<int> res;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            res.push_back(i);
            if(i!=n/i) res.push_back(n/i);
        }
    }
    return res;
}
//整数分解O(√n)素数因子
map<int,int> prime_factor(int n)
{
    map<int,int> res;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        while(n%i==0){
            ++res[i];
            n/=i;
        }
    }
    if(n!=1) res[n]=1;
    return res;
}

其中map第一个int是n的素数因子，对应的第二个int是这个因子的个数

2.埃式筛法

给定一个正整数n，请问n以内有多少个素数。

首先将2到n的所有整数记下来，其中最小的整数2是素数，将表中2的倍数划去。表中最小的整数是3，它不能被更小的数整除，所以是素数，将表中3的倍数划去，以此类推，表中剩余的最小数字是m，则m就是素数。这样反复操作即可枚举得到n以内的所有素数，时间复杂度为O(nloglogn)，可以看作是线性时间。

int prime[maxn];
bool is_prime[maxn];//is_prime[i]是true表示i是素数
//返回n以内素数的个数
int sieve(int n)
{
    int p=0;
    for(int i=0;i<=n;i++) is_prime[i]=true;
    is_prime[0]=is_prime[1]=false;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(is_prime[i]){
            prime[p++]=i;
            for(int j=2*i;j<=n;j+=i) is_prime[j]=false;
        }
    }
    return p;
}

3.区间筛法

给定整数a、b，求区间[a,b)内有多少个素数

b以内的合数的最小质因数一定不超过√b。如果有√b以内的素数表，就可以把埃式筛法用到区间[a,b)上了。也就是说，先做好[2,√b)和[a,b)的表，然后从[2,√b)表中筛选素数的同时，也将其倍数从[a,b)的表中划去，最后剩下的就是[a,b)内的素数了。

typedef long long ll;
bool is_prime[1000000+5];
bool is_prime_small[1000000+5];
//对区间[a,b)内的整数执行筛法。is_prime[i-a]=true→i是素数
void segment_sieve(ll a,ll b)
{
    for(int i=0;(ll)i*i<b;i++) is_prime_small[i]=true;
    for(int i=0;i<b-a;i++) is_prime[i]=true;
    for(int i=2;(ll)i*i<b;i++){
        if(is_prime_small[i]){
            for(int j=2*i;(ll)j*j<b;j+=i) is_prime_small[i]=false;//筛[2,√b)
            for(ll j=max(2ll,(a+i-1)/i)*i;j<b;j+=i) is_prime[j-a]=false;//筛[a,b)
            //2LL是2的长整数形式
            //((a+i-1)/i)*i是满足>=a&&%i==0的离a最近的数
            //也可以写成(a%i==0)?a:(a/i+1)*i
        }
    }
}

4.快速幂运算

typedef long long ll;
ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod)
{
    ll res=1;
    while(n>0){
        if(n&1) res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}