目前遇到需要用快速幂的题，大多都是与取模有关且直接乘会爆数据的题。
因此，在讲快速幂之前，我们得先了解下取模运算。
基本性质
-
若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)
-
(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
-
对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)
-
传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)
取模运算运算规则
模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
-
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
-
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
-
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
-
a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）
-
结合律：((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）
-
交换律：(a + b) % p = (b+a) % p （7）
(a * b) % p = (b * a) % p （8）
-
分配律：(a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p （9）((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （10）
取模运算重要定理
-
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（11）
-
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（12）
-
若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)；
红字部分是快速幂经常会用到的，快速幂用到的思想很多博客中都有解释，这里就大致总结下代码。
int pmod(int a) //快速幂 { int b=a; int ans=1; a=a%c; while(b) { if(b&1) //或b%2 ans=(ans*a)%c; b>>=1; //或b/=2; a=(a*a)%c; } return ans; }
1 long long mmod(long long a,long long b,long long c) //快速乘法 2 { 3 long long res=0; 4 while(b) 5 { 6 if(b&1) 7 res=(res+a)%c; 8 b>>=1; 9 a=(a+a)%c; 10 } 11 return res; 12 } 13 long long pmod(long long a,long long b,long long c) 14 { 15 long long ans=1; 16 while(b) 17 { 18 if(b&1) 19 ans=mmod(ans,a,c)%c; 20 b>>=1; 21 a=mmod(a,a,c)%c; 22 } 23 return ans; 24 }
1 //poj 3070 斐波那契数列 2 #include<iostream> 3 #include<cstdio> 4 #include <cstring> 5 using namespace std; 6 const int mod = 10000; 7 struct nod 8 { 9 int nu[2][2]; 10 }a,ans; 11 int n; 12 nod mul(nod a,nod b) 13 { 14 nod t; 15 memset(t.nu,0,sizeof(t.nu)); 16 for(int i=0;i<2;i++) 17 for(int j=0;j<2;j++) 18 { 19 for(int k=0;k<2;k++) 20 { 21 t.nu[i][j]+=(a.nu[i][k]*b.nu[k][j])%mod; 22 t.nu[i][j]%=mod; 23 } 24 } 25 return t; 26 27 } 28 void qm(int n) 29 { 30 a.nu[0][0]=a.nu[0][1]=a.nu[1][0]=1;a.nu[1][1]=0; 31 ans.nu[0][0]=ans.nu[1][1]=1; 32 ans.nu[1][0]=ans.nu[0][1]=0; 33 while(n) 34 { 35 if(n&1) ans=mul(a,ans); 36 n>>=1; 37 a=mul(a,a); 38 } 39 } 40 int main() 41 { 42 while(scanf("%d",&n)) 43 { 44 if(n==-1)return 0; 45 46 qm(n); 47 printf("%d ",ans.nu[1][0]); 48 } 49 }
具体的这个博客写的挺不错：http://www.cnblogs.com/luruiyuan/p/5570756.html
这个是一位大佬对快速幂的推导思路：https://wenku.baidu.com/view/2384ecc02cc58bd63186bdf6.html