滤波器设计概要

    在信号系统领域，基于傅里叶变换的谱分析和滤波器设计是两个最基本的问题。在模拟系统中，常常用电子元件逼近所需的传递函数，而在数字系统中，则是用差分方程法去逼近所需传递函数。在硬件实现上，主要是用FPGA中的若干和积门来完成。

1.因果稳定系统

    首先还是来看一下系统的性质。这里我们只讨论线性时不变系统（其概念之前讲过），这种系统的性质可完全由其冲激响应决定。在数字系统中，我们用冲激响应h(n)的z变换H(z)来表示系统函数，z=exp(jw)时，则表示其频率响应。

    （z有一个收敛域）

    正常情况下，我们首先要求系统是稳定的，这里有个重要的定理是：系统稳定的充分且必要条件是其冲激响应绝对可和，如下

再结合上面H(z)的形式，不难得出：H(z)的收敛域要包含z=1（注意这里的前后因果关系，初看优点别扭）。这样就可以用另一种说法来表述上面的定理：系统稳定的充分必要条件是其传递函数的收敛域包含单位圆z=1。

 

    再来看收敛域和极点的关系。一般系统的极点都多余其零点，系统函数可表示为

即可以拆分成多个单极点函数的和。把它变为级数形式

要是级数收敛，n的范围至关重要。对于右边序列（典型的如因果序列），n=(K,+无穷)，则收敛域为z>p_k；反之，对于左边序列（典型的如逆因果序列），n=(-无穷,K)，则收敛域为z<p_k。

    再结合之前的定理，可得出结论：对于因果系统，要稳定，所有极点都要在单位圆内；对于逆因果系统，要稳定，所有极点都要在单位圆外；对于双边系统，要稳定，往右信号造成的极点在单位圆内，往左信号造成的极点在单位圆外。

2.最小相位系统和全通系统

    系统函数中z=exp(jw)是，得到的就是频率响应，其中相频响应也可得到：

现在不看某一个频率处的特定相位，而去考虑频率w在单位圆上转一圈，相位的变化。另外考虑到，单位圆外的零极点，在频率转一圈后，对相位的贡献为0（这不是说，相位随频率不变，而是可能先变大，后变小，反正最终和最初是一样的）；而单位圆内的零极点，对相位的贡献为2pi，可以简单画图看出来。则整个频域内，相位变化可表示如下：

m_i,n_i分别是单位圆内的零极点的个数。

对于因果稳定系统，极点都在单位原内n_i=N，则：

即相位永远是延时的，称为相位滞后系统。特别的，若所有零点都在单位圆内，m_o=0，则在整个频域内，相位延时差最小，为0。这样的系统即称为最小相位延时系统。反之，所有零点都在单位圆外，称为最大相位延时系统。（注意，它们一定都是因果稳定系统）

    对于逆因果稳定系统，极点都在单位圆外n_i=0，则：

称为相位超前系统，也有最大最小之分。

    最小相位系统在通信中有重要应用，它有一些主要性质：

1. 在所有幅频响应相同的系统中，最小相位系统具有最小的相位延时。注意这里说的，不是之前讲的一个系统内，整个通频域内相位变化最小，而是指两个系统间，在任意频率处，它的相位延时都小于另一个非最小相位系统（这才是最小相位的真正含义吧）；
2. 在所有幅频响应相同的系统中，最小相位系统在任意频率处的群延时（即相频的导数的负值）最小；
3. 在所有幅频响应相同的系统中，最小相位系统的冲激响应最集中于n=0处；
4. 在所有幅频响应相同的系统中，只有唯一的最小相位系统；
5. 任意一个非最小相位因果稳定系统，都可以看成是有一个最小相位系统和一个全通系统的级联。

   证明不那么简单，可去参见ppt。

 

    全通系统，顾名思义就是在整个通频带内，幅度响应为1。其特点就是零极点成复倒数对出现，即有一个零点r*e^jy，一定有一个极点1/r*e^jy（注意它们是复倒数），在图中就是相对于单位圆成对称镜像。例如

它的主要应用有3个：

1. 上面说的，任意一个非最小相位系统，都可以看成是一个最小相位系统和一个全通系统的级联；
2. 若设计出的系统是非稳定的，可以级联一个全通系统，消除单位圆外的极点，使得系统稳定，且幅频响应不变；
3. 相位均衡器，不改变幅频特征的情况下，调整相频响应，使其在通频带内为线性相位。

 

3.FIR滤波器设计

    FIR滤波器很简单，它实际上是一个全零点模型（MA滑动平均模型），滤波器系数只包含滑动平均的B，而自回归的A=1。滤波过程就是X和B的卷积，再联系滤波器的原理，容易知道，FIR滤波器的系数B就是滤波器的冲激响应h。

    因此它的设计就简单了，只要设定滤波器的频率响应H，进行ifft后就得到冲激响应h，把h直接作为滤波器系数B对原信号滤波即可。

    如上图，是设定的一个低通滤波器的频响，注意了，数字系统有周期延拓的特点。把它ifft得到的冲激响应h(t)，注意了，t从负到正的，这里把它平移到正位置，这也是造成FIR滤波器零相位响应变为线性相位响应的原因。还有一点，原来h(t)不是因果的，平移之后就变成因果的了，这样理解对吗？？

    另外，所得h(t)的长度较长，可截取一段，降低阶数。

如上图所示可见，截取的越长，所得的频响越接近设定频响，第二组就是截取61点（fftl=512）的频响，几乎和设定频响一样。第一组是截取的21点的频响，也大差不差，不过滤波器要做21阶，用硬件做还是比较浪费资源的。在看其相频响应，如下图

 

    下面来看一个例子，用上面设计的FIR滤波器，得到滤波系数h，直接用matlab函数y=filter(h,1,x)进行滤波，即以h为B，A为1进行滤波，得到的谱如图：

    用FIR设计带通、高通等滤波器也十分简单，和上面方法一样，如下图：

    综上，FIR滤波器设计及其简单，且具有线性相位，对各个频率分量的时间延时都相同。其缺点是，所需阶数一般较多，实现起来浪费硬件资源。

4.IIR滤波器

    IIR滤波器设计起来比较复杂，用的是ARMA模型，即A、B都不为1，即系统的传递函数既有零点又有极点。那么，用它的冲激响应，就无法计算出滤波器系数，这是与FIR滤波器的关键区别。

    因此也就不能用FIR那样的方法，直接设定频响，IFFT得到冲激响应，从而得到滤波器系数。那怎么办呢？借用模拟滤波器，因为给定一个频响，有很多模拟滤波器的传递函数模型，如巴特沃斯、切毕雪夫等，不过这些传递函数是拉普拉斯形式的，要把它们变成Z变换形式，从而就可得到滤波器系数了。

    比如巴特沃斯滤波器模型，其幅度平方为

其参数主要有两个，w_c为3dB频点，N为阶数。这两个参数可以通过滤波器指标计算得到，如在200Hz处下降1dB，在600Hz处下降10dB，则可以有两个方程计算出w_c和N。

当然也可以简单地设定，比如有信号，带宽500Hz，采样频率2000Hz，我设计一巴特沃斯滤波器，N=2，w_c=300。则可以分别计算得在各频率处，幅度的下降值

100Hz	200Hz	300Hz	400Hz	500Hz
0.05dB	0.26dB	3dB	6.2dB	9.4dB

 

    下面来设计该滤波器来验证一下，由上面的幅度谱平方式，求出其极点并将其分母分解因式，所有的极点肯定是成共轭对称出现的，要使系统稳定，取左侧的极点。由于形式固定，各阶时的极点已做成表格，可以直接查得，不过是w_c归一化的。如2阶时有：

更一般性的，最终得到多个单极点模型的和，并用s/w_c代替原s，然后根据H(s)到H(z)的变化公式，有：

再把这个和式通分变为一项，计算还是比较复杂的，最终得到

即A=[1 -0.807 0.264]，B=[0 0.423]，进行滤波得到的波形及频谱如下：

可以看出，300Hz处确实为0.707（3dB），其它各频率处的衰减也都和上表中的吻合。由于阶数较低，滤波器的性能不是很好。若取4阶（计算就更加复杂了，不过有计算机程序专门来设计），其性能就可逼近前面的21阶FIR滤波器，且大大节约资源。

    再看其相频响应，因为滤波器的冲激响应是无限的，无法直接得到其频响。这里只能通过滤波前后信号的相位谱来推断滤波器的相频响应了，如下图

可以看出其相位发生了畸变，即说明IIR滤波器没有线性相位，但一般只要保证，在通频带内，相位畸变在一定范围内即可，这还是能满足的，另外还可级联全通系统去均衡相位。

 

    设计IIR带通、高通等滤波器，其原理是先在模拟域（s域）内变换，然后用上述的方法（冲激响应不变法，或其它方法），变为数字滤波器。关键就在于s域内怎么变换，以带通为例，得到截止频率W_c的低通滤波器的H(s)后，将其中的s进行一个替代

用jw代替s得到频率对应关系，并观察W_lp从-W_c到W_c的变化时，W_bp的值：

可见得到的新滤波器是带通的，以为中心频率，为带宽。变换到数字系统，方法和前面一样，计算很复杂，就不做了。其它的各种滤波器也可仿造此法，只是s域的变换关系不同，如高通

5.matlab中的相关函数

    看了一下，最有用的从差分方程到零极点的计算函数，这一步虽然理论上很简单，但因式分解的数学计算过于复杂，matlab有函数可以轻松完成这点。如由差分式得到H(z)如下：

直接利用函数[r,p,c]=residuez(B,A)，得到的p为极点，r为留数（即分子的系数，终于知道留数是什么了…），可得到零极点模型如下：

可以简单推算一下，确实是准确的。

    另外，若给出的H(z)分子分母已是积式，如下：

用函数ploy(p)可以直接得到系数A，然后再用residuez求出和式的系数。

    最后还有一个，有滤波器系数A,B可直接得到冲激响应，impz(B,A)，如下：

impz([1 0.3 0.5],[1],8)                        impz([1 0.3 0.5],[1 -0.1],8)

可看出，A=1时，全零点模型，即FIR，冲激响应和滤波器系数一样；A！=1时，零极点模型，冲激响应是无限长的IIR，但很快趋于收敛。和理论是一致的。

6.响应的各种描述

    以一个例题来说明，已知x(n)=0.25ⁿu(n)，求解差分方程y(n)-1.5y(n-1)+0.5y(n-2)=x(n)，n>=0,初始条件y(-2)=10,y(-1)=4。

    首先做z变换，这里就要注意的，要求n>=0的，但还包含有n=-1,-2，所以要分开

这样就完整地包含了初始状态，这本是一个基本知识，不过好像忘了，特此复习一下。

    然后做分解

很显然，前一部分为零输入响应，后一部分为零状态响应。

    稍作合并，重新分解得

前一部分为通解，即系统形式决定的，后一部分为特解，由输入信号的形式决定的。

    再重新合并、分解得

前一部分为暂态响应，很快趋于0，后一部分为稳态响应，它是由在单位圆上的极点造成的，一直持续下去。