量子逻辑门

量子态的演化

在前面量子纠缠1中我们已经提到了量子比特的线性代数表示，即，对于一个量子态 (alpha_0 | 0 angle +alpha_1 | 1 angle)我们可以化简成$ left[ egin{array}{}{alpha_0} {alpha_1}end{array} ight]$ 。

量子态不是一成不变的，就像高电平会变成低电平，一个量子态也能演化成另一个量子态，量子态的演化就是在Hilbert空间中的旋转,如图(a)所示。

通过一个U操作，我们就将 (| 0 angle) 变成了 (U| 0 angle) ， (| 1 angle) 变成了 (U| 1 angle) ， (| u angle) 变成了 (U| u angle) ，如图(b)所示。需要注意的是，我添加一个U操作，没有改变 (| 0 angle) 、 (| 1 angle) 、 (| u angle) 之间的关系， (U| 0 angle) 、 (U| 1 angle) 和 (| 0 angle) 、 (| 1 angle) 一样，他们之间的关系依旧是垂直。

$ (| 0 angle, | 1 angle)=0$

$ (U| 0 angle, U| 1 angle)=0$

((,)) 是内积的意思， $ (| 0 angle, | 1 angle)= left[ egin{array}{}{1}&{0}end{array} ight]left[ egin{array}{}{0} {1}end{array} ight]$ ，同样，也可以简写成 (langle0| 1 angle) ， (langle0|) 表明是 (| 0 angle) 的共轭转置。

对于这种两个向量之间夹角不会变的旋转称为刚性旋转 rigid rotation。

而这种U操作被成为酉操作，也是unitary transformation

Unitary Transformation

量子比特我们用向量来表示，因为我们量子比特的演化是线性的，所以在量子比特上的操作，可以用矩阵来表示。

单量子比特是 (2*1) 的向量，则单量子比特门是 (2*2) 的矩阵。

(| 0 angle) 变到 (U| 0 angle) 在线性代数上就是 $ left[ egin{array}{}{1} {0}end{array} ight]$ 变到 $ left[ egin{array}{}{frac{1}{sqrt2}} {frac{1}{sqrt2}}end{array} ight]$

[left[ egin{array}{}{frac{1}{sqrt2}} \ {frac{1}{sqrt2}}end{array} ight]=Uleft[ egin{array}{}{1} \ {0}end{array} ight] ]

[U= left[ egin{array}{}{frac{1}{sqrt2}} &{-frac{1}{sqrt2}} \ {frac{1}{sqrt2}}&{frac{1}{sqrt2}} end{array} ight] ]

对于旋转了 ( heta) 角度的操作，都可以用 (U_{ heta}= left[ egin{array}{}{cos heta} &{-sin heta} \ {sin heta}&{cos heta} end{array} ight]) 表达。

如果要做相反操作，就是将顺时针转 ( heta) 角度， (U_{- heta}= left[ egin{array}{}{cos heta} &{sin heta} \ {-sin heta}&{cos heta} end{array} ight])

很巧的是， (U_ heta^dagger=U_{- heta}) ， (dagger) 是共轭转置的意思。

(U_ heta U_{ heta}^dagger=I) ，意思也很好理解，因为顺时针 ( heta) 又 (- heta) ，正好就回到原位。

事实上所有的量子操作都是可逆的，所有的量子操作都酉操作。

那么什么是酉操作呢？

U is unitary iff (U^dagger U =I)

对于酉矩阵的更多特征会在线性代数的章节提到，这里主要提一个，酉矩阵是保内积的。

保内积又是什么意思？

两个向量在乘以相同的U后，他们的内积不变。

[(U| a angle, U| b angle)=langle a|U^dagger U|b angle=langle a|I|b angle=langle a|b angle ]

单量子逻辑门

量子逻辑门和经典逻辑门一个巨大的不同是——量子逻辑门可逆。

经过了经典的逻辑门与门或者非门，我们的信息会丢失，告诉你与门后的输出结果是0，你知道与门前的输入吗？（0，0）、（0，1）、（1，0）都有可能。

而对于量子逻辑门来说，我经过U变换后的结果是 (|a angle) ，那么 (U^dagger |a angle) 就是变换前的输入了。

举例几个常用的单量子逻辑门：

(X=left[ egin{array}{}{0} &{1} \ {1}&{0} end{array} ight])，X门又称为比特翻转，他可以把 (|0 angle) 变成 (|1 angle) ，把 (|1 angle) 变成 (|0 angle) 。

(Y=left[ egin{array}{}{0} &{-i} \ {i}&{0} end{array} ight])

(Z=left[ egin{array}{}{1} &{0} \ {0}&{-1} end{array} ight])，Z门又称为相位翻转门，可以把 (|+ angle) 变成 (|- angle) ， (-|1 angle) 变成 (|1 angle) 。

以及一个特别有用的门，Hadamard门：
(H=left[ egin{array}{}{frac{1}{sqrt2}} &{frac{1}{sqrt2}} \ {frac{1}{sqrt2}}&{-frac{1}{sqrt2}} end{array} ight]) ，他的作用是把 (|1 angle) 变成 (|- angle) ， (|0 angle) 变成 (|+ angle) 。

两量子逻辑门

对于两量子比特来说，他们的状态是 (alpha_{00} | 00 angle+alpha_{01} | 01 angle+alpha_{10} | 10 angle+alpha_{11} | 11 angle) ，需要用 (4*1) 的向量来描述，也就是 $ left[ egin{array}{}{alpha_{00}} {alpha_{01}} {alpha_{10}} {alpha_{11}} end{array} ight]$ ，对应操作两比特的逻辑门，也就是 (4*4) 的矩阵了。

两比特的量子门有各自管各自的，如图(c)，也有一个控制另一个的，如图(d)。

对于图c来说， (U=u_1otimes u_2) ，如果 (u_1=left[ egin{array}{}{a} &{c} \ {b}&{d} end{array} ight],u_2=left[ egin{array}{}{e} &{g} \ {f}&{h} end{array} ight]) ，那么， (U=left[ egin{array}{}{aleft[ egin{array}{}{e} &{g} \ {f}&{h} end{array} ight]} &{cleft[ egin{array}{}{e} &{g} \ {f}&{h} end{array} ight]} \ {bleft[ egin{array}{}{e} &{g} \ {f}&{h} end{array} ight]}&{dleft[ egin{array}{}{e} &{g} \ {f}&{h} end{array} ight]} end{array} ight]) ，这也就是张量积的算法。

对于图d来说，这是一个受控非门CNOT门，他的意思是，如果a是0，那么b保持不变，如果a是1，那么b就是变成相反的，比如 (|0 angle) 变成 (|1 angle) ，或者把 (|1 angle) 变成 (|0 angle) 。

即 (|00 angle to|00 angle,|01 angle to|01 angle,|10 angle to|11 angle,|11 angle to|10 angle) 。

用矩阵来描述就是 (left[egin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} & {0} \ {0} & {1} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {0} & {1} \ {0} & {0} & {1} & {0}end{array} ight]) 。

至此，主要的量子逻辑门就介绍完毕，如果想要动手实践的话，有阿里的量子计算云平台、华为的hiQ、IMB的IBM Q

参考资料

Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 5